Lesson 5

Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar

4

Alla sannolikhetsbaserade situationer är inte ideella tärningskast där alla utfall har samma sannolikhet att uppstå. Av denna anledning är det viktigt att prata om vilken typ av sannolikhetsfördelning ett specifikt problem tillhör. En del sannolikhetsfördelningar förekommer oftare i vardagen än andra medan andra för det mer sällan. Dessa fördelningar har olika typer av fria parametrar som gör att fördelningarna kan appliceras i olika sammanhang. Av denna anledning är det viktigt att känna till vilka fördelningar som finns och vad deras parametrar står för att kunna veta vilken fördelning som passar problemet bäst.

Kontinuerliga fördelningar


Likformig fördelning: XU(a,b)X\in \text{U}\left( a,b \right)


I den kontinuerliga likformiga sannolikhetsfördelningen är sannolikheten beroende av storleken på intervallet som sannolikheten finns fördelad inom. Fördelningen beror inte av utfallsvärden överhuvudtaget. Detta gör sannolikheten konstant och densamma för alla utfallsvärden. Den likformiga fördelningen finns även i en diskret form.


Täthetsfunktionen ges gav:


fX(x)={1ba,a<x<b0{ f }_{ X }(x)=\begin{cases} \frac { 1 }{ b-a } ,\quad a < x < b \\ 0 \end{cases}


a,ba, b = utgör den undre respektive övre gränsen för intervallet som omfamnar utfallsvärdet xx .


Exponentialfördelning: XExp(λ),0<λX\in \text{Exp}\left( \lambda \right) ,\quad 0<\lambda


Exponentialfördelningen har en täthetsfunktion som är kraftigt avtagande. Detta gör att sannolikheten för gynnsamt utfall ökar snabbt med de första värdena av xx. I verkligheten används exponentialfödelningen till att modellera sannolikheten för att t.ex. bilolyckor inträffar där xx representerar tid medan λ\lambda är antalet gånger händelsen inträffar per tidsenhet, t.ex. antalet bilolyckor per timme.


Täthetsfunktionen ges av:


fX(x)={λeλx,x>00{ f }_{ X }(x)=\begin{cases} \lambda { e }^{ -\lambda x },\quad x>0 \\ 0 \end{cases}


λ\lambda = utbredning av sannolikhetsmassan över intervallet


Denna fördelning har ingen inbyggd funktion i de vanligaste grafräknarna. Dess formel finns dock under §4 i formelsamlingen.


Exercise

Rebecca är en upptagen människa och pratar ofta i telefon.


Vad är sannolikheten att nästa telefonsamtal hon får är mellan 55 till 77 minuter efter hon lagt på sitt nuvarande samtal? Anta att λ=0.1\lambda=0.1 .


Solution

Lösning genom beräkning


Vi vet att XExp(0.1)X \in \text{Exp}(0.1) där sannolikheten för intervallet 5x75 \le x \le 7 efterfrågas. Vi ställer upp och beräknar integralen:



P(5X7)=570.1e0.1xdx=0.11P\left( 5 \le X \le 7 \right) =\int _{ 5 }^{ 7 }{ 0.1{ e }^{ -0.1x }dx } =0.11




Normalfördelning: XN(μ,σ) X \in \text{N} \left( \mu,\sigma \right)


Denna fördelning är utan tvekan den viktigaste av de alla och har därför oftast ett eget kapitel. Anledningen till detta är att alla andra fördelningar, diskreta eller kontinuerliga, kan under specifika förhållanden approximeras till en normalfördelning. De två parametrarna μ\mu och σ\sigma motsvarar fördelningens väntevärde och standardavvikning som definieras senare i kursen.


Täthetsfunktionen ges av:


fX(x)=1σ2πe(xμ)22σ2{ f }_{ X }(x)=\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } { e }^{ \frac { -{ \left( x-\mu \right) }^{ 2 } }{ 2{ \sigma }^{ 2 } } }


μ\mu = väntevärde

σ\sigma = standardavvikning


Då täthetsfunktionen är omfattande rekommenderas den inbyggda funktionen grafräknaren: normalcdf\text{normalcdf} för beräkning.


Exercise

En stålfabrik tillverkar 1515 cm långa spikar och fabrikens spikar har en felgräns på ±0.5\pm 0.5 cm. Vad är sannolikheten att spikarna är längre än 16.516.5 cm eller kortare än 1414 cm?

Solution

Lösning med grafräknare


Vi låter XX vara en s.v. som mäter längden hos spikarna och vet att den förväntade längden hos spikarna är μ=15\mu=15 cm med en standardavvikning på σ=0.5\sigma=0.5 . Uppgiften efterfrågar sannolikheten att x14x \le 14 eller att 16.5x16.5 \le x . Vi beräknar sannolikheten för respektive att uppstå och adderar sedan de.



P(X14)=normalcdf(E99,14,15,0.5)=0.0228P\left( X\le 14 \right) =\text{normalcdf}\left( -\text{E}99,14,15,0.5 \right) =0.0228


P(16.5X)=normalcdf(16.5,E99,15,0.5)=0.00135P\left( 16.5\le X \right) =\text{normalcdf}\left( 16.5,\text{E}99,15,0.5 \right) =0.00135


0.0228+0.00135=0.02410.0228+0.00135=0.0241



Comments

icon

Be the first to comment!