Lesson 7

Tillämpningar av integraler

17

Längden av en kurva



Om man känner till funktionen y(x)y(x) och vill räkna ut längden av funktionens kurva mellan punkterna A och B använder man formeln:


ab1+y(x)2dx\int _{ a }^{ b }{ \sqrt { 1+y'{ (x) }^{ 2 } } dx }


Eftersom formeln är väldigt enkel kommer vi att gå igenom ett lite svårare exempel som skulle kunna komma på tentan:

Uppgift

Beräkna längden av kurvan y=23(x1)3/2y=\frac { 2 }{ 3 } { (x-1) }^{ 3/2 } på intervallet 0x10\le x\le 1

Lösning

Vi ska applicera formeln L=ab1+y(x)2dxL=\int _{ a }^{ b }{ \sqrt { 1+y'{ (x) }^{ 2 } } dx }


Vi räknar först ut yy'.


yy kan ses som följande sammansatt funktion:


f(g(x))f(g(x)), där f(x)=23x3/2f(x)=\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3/2 } och g(x)=x1g(x)=x-1.


För att räkna ut dess derivata använder vi kedjeregeln:


Vi får de separata derivatorna f(x)=x1/2f'(x)={ x }^{ 1/2 } och g(x)=1g'(x)=1, alltså är:y=f(g(x))g(x)=(x1)1/2y'=f'(g(x))g'(x)={ (x-1) }^{ 1/2 }


Nu när vi har yys derivata kan vi sätta in den i formeln för längden på en kurva:


L=011+((x1)1/2)2dxL=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { 1+{ ({ (x-1) }^{ 1/2 }) }^{ 2 } } dx }


=011+x1dx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { 1+x-1 } dx } (genom potensregeln för dubbla exponenter)


=01xdx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { x } dx }


=[23x3/2]10=\left[ \frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3/2 } \right] \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}


=23=\frac { 2 }{ 3 }


Längden på kurvan är alltså 23\frac { 2 }{ 3 }!

Area


En area R begränsad av två funktioner (f och g) och ett intervall (a och b).


För att räkna ut arean till en yta som begränsas av två funktioner tar vi arean av den övre funktionen f(x)f(x) minus arean till den undre funktionen g(x)g(x) . Vi applicerar alltså formeln:


R= a b(f(x)g(x))dxR=\int _{\ a}^{\ b} (f(x)-g(x))dx


Uppgift 2

Beräkna arean av området som begränsas av kurvorna y=2xy=2\sqrt { x } och y=xy=x

Lösning

Vi måste först beräkna skärningspunkterna mellan båda kurvorna. Vi sätter:


x=2xx=2\sqrt { x }


x2=4x\Leftrightarrow { x }^{ 2 }=4x


x24x=0\Leftrightarrow { x }^{ 2 }-4x=0


x(x4)=0\Leftrightarrow x(x-4)=0


Vi får alltså x1=0{ x }_{ 1 }=0 och x2=4{ x }_{ 2 }=4, vilket är intervallet för vår integral.


Vi måste nu veta vilken av funktionerna som är överst i det här intervallet. Vi tar därför ett slumpmässigt nummer i intervallet, t.ex. x=2x=2 och ser vilket värde som får av funktionerna:

  • f(x)=22f(x)=2\sqrt { 2 }

  • g(x)=2g(x)=2

Eftersom 22>22\sqrt { 2 }>2 vet vi alltså att 2x>x2\sqrt { x } > x i intervallet [0,4]\left[ 0,4 \right] .


Vi kan nu applicera formeln:


R=ab(f(x)g(x))dxR=\int _{ a }^{ b }{ (f(x)-g(x))dx }


=04(2xx)dx=\int _{ 0 }^{ 4 }{ (2\sqrt { x } -x)dx }


=[43x3/2x22]04={ \left[ \frac { 4 }{ 3 } { x }^{ 3/2 }-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ 4 }


=83=\frac { 8 }{ 3 }


Arean av området är alltså lika med 83\frac { 8 }{ 3 }

Rotationsvolym


En rotationskropp som roterar kring x-axeln.


Om R är en area som definieras av funktionen y=f(x)y=f(x), kan man räkna ut volymen som uppstår när:

  • R roterar kring x-axeln: Vx=πabf2(x)dx{ V }_{ x }=\pi \int _{ a }^{ b }{ f^{ 2 }\left( x \right) } dx

  • R roterar kring y-axeln: Vy=2πabxf(x)dx{ V }_{ y }=2\pi \int _{ a }^{ b }{ x\cdot f\left( x \right) } dx

Uppgift 3

Beräkna volymen av den kropp som fås mellan x=0x=0 och x=1x=1 genom att rotera f(x)=1x+1f(x)=\frac { 1 }{ x+1 } kring xx-axeln.

Lösning

Vi applicerar formeln:


Vx=πabf2(x)dx{ V }_{ x }=\pi \int _{ a }^{ b }{ f^{ 2 }\left( x \right) } dx


=π011(x+1)2dx=\pi \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ { (x+1) }^{ 2 } } } dx


Vi gör en variabelsubstitution:

  • u=x+1u=x+1

  • du=dxdu=dx

=π12duu2=\pi \int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { du }{ { u }^{ 2 } } }


=π[1u]12=\pi { \left[ -\frac { 1 }{ u } \right] }_{ 1 }^{ 2 }


=π(12+1)=\pi (-\frac { 1 }{ 2 } +1)


=π2=\frac { \pi }{ 2 }


Kroppen har alltså volymen π2\frac { \pi }{ 2 }

Comments

icon

Be the first to comment!