Lesson 8

Differentiella ekvationer

25

Vad är differentiella ekvationer?

En differentialekvation beskriver sambandet mellan en funktion och dess derivator. Differentialekvationer används ofta inom formgivningen av broar, flygplan och bilar, men också inom vissa ekonomiska modeller!

Första ordningen

Differentialekvationer sägs vara av första ordningen när de endast innehåller den första derivatan yy'.

En första ordningens differentialekvation ser vanligtvis ut såhär:

y+ay=0y'+ay=0

Den allmänna lösningen till ekvationen får man då genom formeln:

y=Ceaxy=C{ e }^{ -ax }

...där C är en konstant.

Konstanten C kan sedan räknas ut med hjälp av ett begynnelsevillkor som beskriver vilket värde ekvationen antar vid en särskild punkt.

När man hittat värdet på C kan man sedan sätta in det i den allmänna lösningen för att få ut den partikulära lösningen.

Uppgift 1

Beräkna lösningen till 2y+3y=02y'+3y=0 med hjälp av villkoret y(0)=5y(0)=5

Lösning

Vi dividerar alla faktorer med 2 för att få ekvationen under samma form som i definitionen ovan:

2y+3y=02y'+3y=0

y+32y=0\Leftrightarrow y'+\frac { 3 }{ 2 } y=0

För att få ut den allmänna lösningen är det bara att applicera formeln, vilket ger:

y=Ce32xy=C{ e }^{ -\frac { 3 }{ 2 } x }


Nu vill vi få ut partikulärlösningen vilket vi kan få genom att använda oss av begynnelsevillkoret y(0)=5y(0)=5.

Begynnelsevillkoret skulle kunna ersättas med meningen "då x är lika med 0, ska y vara lika med 5". Vi ersätter därför xx och yy i vår allmänna lösning och förenklar ekvationen:

Ce320=5C{ e }^{ -\frac { 3 }{ 2 } \cdot 0 }=5

Ce0=5\Leftrightarrow C{ e }^{ 0 }=5

Eftersom e0=1{ e }^{ 0 }=1 får vi alltså C=5C=5.

Vår partikulärlösning är alltså:

y=5e32xy=5{ e }^{ -\frac { 3 }{ 2 } x }

Andra ordningen

Som ni säkert kunde gissa sägs differentialekvationer vara av andra ordningen när de innehåller andraderivatan (derivatan av derivatan) yy''.

En andraordningens differentialekvation ser vanligtvis ut såhär:

y+ay+by=0y''+ay'+by=0

Det här löser man sedan som en vanlig andragradsekvation. Beroende på värdet av rötterna r1r1 och r2r2 applicerar man sedan en av följande formler:

Om r1r1 och r2r2 är reella och olika:

y=Cer1x+Der2xy=C{ e }^{ { r }_{ 1 }x }+D{ e }^{ { r }_{ 2 }x }

Om r1r1och r2r2 är reella och lika

y=(C+Dx)erxy = (C + Dx)e^{rx}

Om r1r1och r2r2 är komplexa

y=eαx(Ccosβx+Dsinβx)y=e^{\alpha x}(C cos\beta x+Dsin\beta x)

(..där rötterna är av formen r1,r2=α±iβr1,r2=\alpha \pm i\beta)


Uppgift 2

Beräkna lösningen till y+3y+2y=0y''+3y'+2y=0 med hjälp av villkoren y(0)=3y(0)=3 och y(0)=2y'(0)=2

Lösning

För att hitta r1{ r }_{ 1 } och r2{ r }_{ 2 } löser vi ekvationen på samma sätt som en andragradsekvation!

Differentialekvationen ovan förvandlas alltså till andragradsekvationen:

r2+3r+2=0{ r }^{ 2 }+3r+2=0

Med hjälp av PQ-formeln får vi två lösningar till ekvationen:

  • r1=2{ r }_{ 1 }=-2

  • r2=1{ r }_{ 2 }=-1

r1r1 och r2r2 är reella och olika! Nu sätter vi bara in de här värdena i formeln för att få ut den allmänna lösningen:

y=Ce2x+Dexy=C{ e }^{ -2x }+D{ e }^{ -x }

Våra begynnelsevillkor kan ersättas till meningarna:

  • "Då x är lika med 0, är y lika med 3"

  • "Då x är lika med 0, är y' lika med 2"

Vi börjar med det första villkoret och ersätter variablerna:

3=Ce20+De03=C{ e }^{ -2\cdot 0 }+D{ e }^{ -0 }

Ce0+De0=3\Leftrightarrow C{ e }^{ 0 }+D{ e }^{ 0 }=3

C+D=3\Leftrightarrow C+D=3


Vi gör nu samma sak för det andra villkoret. För att kunna räkna ut det måste vi dock först derivera den allmänna lösningen!

y=2Ce2xDexy'=-2C{ e }^{ -2x }-D{ e }^{ -x }

2=2Ce20De02=-2C{ e }^{ -2\cdot 0 }-D{ e }^{ -0 }

2CD=2-2C-D=2


Slutligen har vi ett linjärt ekvationssystem som måste lösas!

  • C+D=3C+D=3

  • 2CD=2-2C-D=2

\Leftrightarrow

  • C=3DC=3-D

  • 2(3D)D=26+2DD=2D=8-2(3-D)-D=2\Leftrightarrow -6+2D-D=2\Leftrightarrow D=8

\Leftrightarrow

  • C=5C=-5

  • D=8D=8

Nu kan vi äntligen ersätta C och D i vår allmänna lösning, och får på så sätt ut partikulärlösningen:


y=5e2x+8exy=-5{ e }^{ -2x }+8{ e }^{ -x }

Inhomogena ekvationer

Hittills har alla våra exempel varit homogena ekvationer. En inhomogen ekvation är en differentialekvation där högerledet inte är 00 utan en annan funktion, t.ex. y+ay=f(x)y'+ay=f(x)

Den allmänna lösningen till ekvationen får man då genom formeln:

y=yh+ypy={ y }_{ h }+{ y }_{ p }

(där yh{ y }_{ h } är en homogen lösning och yp{ y }_{ p } är en partikulärlösning till ekvationen)

Uppgift 3

Beräkna den allmänna lösningen till y+2y=4x+4y'+2y=4x+4

Lösning

Vi börjar med att räkna ut den homogena lösningen yh{ y }_{ h } till ekvationen. Detta gör vi genom att ersätta alla yy:n i ekvationen med yh{ y }_{ h }, och sedan ersätta högerledet med 00:

yh+2yh=0{ y' }_{ h }+2{ y }_{ h }=0

Genom formeln för homogena förstagradsekvationer får vi att den homogena lösningen till denna är:

yh=Ce2x{ y }_{ h }=C{ e }^{ -2x }


Vi måste nu hitta partikulärlösningen yp{ y }_{ p }, vi skriver då:

yp+2yp=4x+4{ y' }_{ p }+2{ y }_{ p }=4x+4

Eftersom 4x+44x+4 är ett förstagradspolynom, ska vi nu anta att yp{ y }_{ p } också är ett förstagradspolynom! Vi skriver det därför under den här formen:

yp=ax+b{ y }_{ p }=ax+b

Vi får då också att:

yp=a{ y' }_{ p }=a

Vi går tillbaka till vår inhomogena ekvation och ersätter yp{ y }_{ p } och yp{ y' }_{ p }:

yp+2yp=4x+4{ y' }_{ p }+2{ y }_{ p }=4x+4

a+2(ax+b)=4x+4\Leftrightarrow a+2(ax+b)=4x+4

a+2ax+2b=4x+4\Leftrightarrow a+2ax+2b=4x+4

Vi löser nu det här som ett ekvationssystem (med xx-termerna i en ekvation, och resten i en annan):

  • 2ax=4x2ax=4x

  • a+2b=4a+2b=4

  • a=4x2x=2a=\frac { 4x }{ 2x } =2

  • 2b=4a=42=22b=4-a=4-2=2

  • a=2a=2

  • b=1b=1

Nu ersätter vi bara aa och bb i yp=ax+b{ y }_{ p }=ax+b med dess värden för att få ut partikulärlösningen!

yp=2x+1y_{ p }=2x+1


Nu har vi alltså både räknat ut den homogena lösningen och den partikulära lösningen! Alltså är den allmänna lösningen:

y=yh+ypy={ y }_{ h }+{ y }_{ p }

y=Ce2x+2x+1\Leftrightarrow y=C{ e }^{ -2x }+2x+1

Uppgift 4

Som övning inför tentan kan vi också göra det här lite svårare exemplet:

Beräkna den allmänna lösningen till y+4y=5cos(3x)y''+4y=5\cos { (3x) }.

Lösning

Vi börjar med den homogena lösningen, som vi räknar ut genom att förvandla ekvationen till en andragradsekvation och sätta högerledet till 00:

r2+4=0{ r }^{ 2 }+4=0

Med hjälp av PQ-formeln får vi två lösningar:

  1. r1=2i{ r }_{ 1 }=2i

  2. r2=2i{ r }_{ 2 }=-2i

r1r1 och r2r2 är alltså komplexa! Vi vet då att vi kan få ut aa och bb genom r1,r2=α±iβ{ r }_{ 1 },{ r }_{ 2 }=\alpha \pm i\beta . Alltså är α=0\alpha =0 och β=2\beta =2. Vi sätter nu in dem i formeln för att få ut den homogena lösningen:

yh=eαx(Ccosβx+Dsinβx){ y }_{ h }={ e }^{ \alpha x }(C\cos { \beta x } +D\sin { \beta x } )

yh=e0(Ccos(2x)+Dsin(2x)){ y }_{ h }={ e }^{ 0 }(C\cos { (2x)+D\sin { (2x)) } }

yh=Ccos(2x)+Dsin(2x){ y }_{ h }=C\cos { (2x)+D\sin { (2x) } }


Nu måste vi hitta partikulärlösningen, så vi skriver ekvationen på nytt:

y+4y=5cos(3x)y''+4y=5\cos { (3x) }

Som ni ser har vi bara en enda term i högerledet – 5cos(3x)5\cos { (3x) }, som är ett nolltegradspolynom multiplicerat med cos(3x)\cos { (3x) }. Eftersom cos\cos och sin\sin hänger ihop, kan vi anta att yp{ y }_{ p } kan skrivas under formen:

yp=acos(3x)+bsin(3x){ y }_{ p }=a\cos { (3x) } +b\sin { (3x) }

Vi måste nu derivera det här 2 gånger, så att vi även kan ersätta yp{ y }''_{ p } med något vettigt. För att göra det använder vi kedjeregeln för båda termerna:

Vi börjar med att räkna ut derivatan:

yp=a(sin(3x)3)+b(cos(3x)3){ y' }_{ p }=a(-\sin { (3x) } \cdot 3)+b(\cos { (3x) } \cdot 3)

yp=3asin(3x)+3bcos(3x){ y' }_{ p }=-3a\sin { (3x) } +3b\cos { (3x) }

Och sedan andraderivatan:

yp=3a(cos(3x)3)+3b(sin(3x)3){ y'' }_{ p }=-3a(\cos { (3x) } \cdot 3)+3b(-\sin { (3x) } \cdot 3)

yp=9acos(3x)9bsin(3x){ y'' }_{ p }=-9a\cos { (3x) } -9b\sin { (3x) }


Vi måste nu räkna ut aa och bb, så vi går tillbaka till vår initiala ekvation och ersätter yy med yp{ y }_{ p } och yy'' med yp{ y'' }_{ p }:

y+4y=5cos(3x)y''+4y=5\cos { (3x) }

9acos(3x)9bsin(3x)+4(acos(3x)+bsin(3x))=5cos(3x)\Leftrightarrow -9a\cos { (3x) } -9b\sin { (3x) } + 4(a\cos { (3x) } +b\sin { (3x) } ) = 5\cos { (3x) }

(4a9a)cos(3x)+(4b9b)sin(3x)=5cos(3x)\Leftrightarrow (4a-9a)\cos { (3x) } +(4b-9b)\sin { (3x) } =5\cos { (3x) }

5acos(3x)5bsin(3x)=5cos(3x)\Leftrightarrow -5a\cos { (3x) } -5b\sin { (3x) } =5\cos { (3x) }

a=1,b=0\Leftrightarrow a=-1,\quad b=0


Nu kan vi ersätta aa och bb för att få ut vår slutgiltiga partikulärlösning!

yp=acos(3x)+bsin(3x){ y }_{ p }=a\cos { (3x) } +b\sin { (3x) }

yp=cos(3x){ y }_{ p }=-\cos { (3x) }


Vi har nu den homogena lösningen yh=Ccos(2x)+Dsin(2x){ y }_{ h }=C\cos { (2x)+D\sin { (2x) } } och partikulärlösningen yp=cos(3x){ y }_{ p }=-\cos { (3x) }, allså är den allmänna lösningen:

y=yh+ypy={ y }_{ h }+{ y }_{ p }

yh=Ccos(2x)+Dsin(2x)cos(3x)\Leftrightarrow { y }_{ h }=C\cos { (2x)+D\sin { (2x) } } -\cos { (3x) }

Comments

profile/avatar/default
Andre Lindgren

På näst sista raden borde det stå -5a cos(3x) etc. Minustecknet saknas.

Tristan Edwards

@andre-lindgren98: Stämmer, tack!