Lesson 4

Kedjeregeln

17

Sammansatta funktioner

Vi har hittills lärt oss hur man deriverar enkla funktioner. Men hur skulle vi göra om vi t.ex. ska derivera h(x)=(5x+2)2h(x)={ (5x+2) }^{ 2 }? Här räcker det inte att bara derivera 5x+25x+2 och sedan höja resultatet till 22 eftersom det rör sig om en sammansatt funktion.

En sammansatt funktion är en funktion som bildas genom att "sätta ihop" två funktioner. I det här fallet har vi f(x)=x2f(x)={ x }^{ 2 } och g(x)=5x+2g(x)=5x+2.

Sammansättningen av f(x)f(x) och g(x)g(x) skrivs: fg(x)f\circ g(x) (läses f "boll" g) eller f(g(x))f(g(x)).

Det annotation säger är: "varje gång som xx förekommer i f(x)f(x) så ska det istället ersättas med g(x)g(x)".

Vi får därför h(x)=f(g(x))=(5x+2)2h(x)=f(g(x))={ (5x+2) }^{ 2 }.

Derivatan

Hur deriverar man då en sammansatt funktion? Jo, man använder sig av något som kallas för kedjeregeln! Formeln är egentligen väldigt enkel, det gäller bara att kunna den!

Om vi har en sammansatt funktion h(x)=f(g(x))h(x)=f(g(x)), så räknas derivatan ut på följande sätt:

h(x)=f(g(x))g(x)h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)

Uppgift

Derivera funktionen h(x)=(5x+2)2h(x)={(5x+2)}^2

Lösning

Vi ser att det rör sig om en sammansatt funktion och identifierar därför först våra funktioner f(x)f(x) och g(x)g(x):

  • f(x)=x2f(x)={ x }^{ 2 }

  • g(x)=5x+2g(x)=5x+2

Vi ska nu applicera formeln h(x)=f(g(x))g(x)h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x) vilket görs enklast om vi först räknar ut derivatorna f(x)f'(x) och g(x)g'(x):

  • f(x)=2xf'(x)=2x

  • g(x)=5g'(x)=5

Vi får alltså:

h(x)=f(g(x))g(x)h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)

=2(5x+2)5=2(5x+2)\cdot 5

=(10x+4)5=(10{ x }+4)\cdot 5

=50x+20=50{ x }+20


Derivatan till h(x)h(x) är alltså h(x)=50x+20h'(x)=50{ x }+20

Comments

icon

Be the first to comment!