Lesson 5

Integraler

25

Vad är en integral?

Att integrera kan översättas till: "att summera ett oändligt antal små bitar". Låt säga att vi vill räkna ut arean S i nedanstående bild.

S begränsas av kurvan f(x), x-axeln, och linjerna x=0 och x=10.

För att kunna göra det måste vi dela upp området i ett oändligt antal små rektanglar (på bilden nedan har vi begränsat antalet till 10):

Principen går ut på att arean måste vara större än det här...


...men mindre än det här!


Ju mindre bitarna är, desto mer exakt blir beräkningen.


Den här typen av approximation kallas för Riemannsumma.

En integral betecknas med notationen: abf(x)dx\int _{ a }^{ b }{ f(x) } dx (läses "integralen av f från a till b").

Den där sista delen av integralen (dxdx) är inte så viktig just nu, men glöm inte bort att skriva den, för snart blir den nämligen mycket viktig!

Primitiver

Att hitta primitiven till en funktion kallas ibland för "anti-derivering": man kan säga att man "deriverar baklänges" genom att applicera deriveringsreglerna åt andra hållet.

Primitiven till en funktion f(x)f(x) betecknas F(x)F(x). Anledningen till att det kallas för antiderivering är för att derivatan till F(x)F(x) är f(x)f(x)!

Genom att komma ihåg formlerna för primitiver kan man enkelt räkna ut integraler på ett snabbt sätt! Nedan finns en tabell med de vanligaste primitiverna. Se till att lära dig dem utantill!

Funktion f(x)f(x)Primitiv F(x)F(x)
kk (konstant)kxkx
xnx^nxn+1n+1\frac {x^{n+1}} {n+1}
1x\frac 1 xlnln |x|
x\sqrt x23x32\frac 2 3 x^{\frac 3 2}
axa^xaxln a\frac {a^x} {ln \ a}
cos(x)cos(x)sin(x)sin(x)
sin(x)sin(x)cos(x)-cos(x)
tan(x)tan(x)lncos(x)-ln |cos(x) |
exe^xexe^x
(ax+b)n(ax+b)^n(ax+b)n+1a(n+1)\frac {(ax+b)^{n+1}} {a(n+1)}
1cos2(x)\frac 1 {cos^2(x)}tan(x)tan(x)
11x2\frac 1 {\sqrt 1-x^2}arcsin(x)arcsin(x)
11x2- \frac 1 {\sqrt 1-x^2}arccos(x)arccos(x)
11+x2\frac 1 {1+x^2}arctan(x)arctan(x)

OBS! Tänk på att även 00 har en primitiv, nämligen kk (eftersom en konstant blir 00 när man deriverar den)! Detta medför att man egentligen borde skriva +k+k efter varje primitiv i tabellen ovan!

Uppgift 1

Beräkna integralen (5x2+2x+7)dx\int { ({ 5x }^{ 2 }+2x+7 } )dx

Lösning

Vi delar upp integralen och får 3 olika termer som vi måste hitta primitiverna till: 5x2{ 5x }^{ 2 }, 2x2x och 77.

  • Primitiven till 5x2{ 5x }^{ 2 } är 53x3\frac { 5 }{ 3 } { x }^{ 3 }

  • Primitiven till 2x2x är 22x2=x2\frac { 2 }{ 2 } { x }^{ 2 }={ x }^{ 2 }

  • Primitiven till 77 är 7x7x

Nu är det bara att summera dessa så har vi beräknat vår integral! Glöm inte att skriva +k+k i slutet!

(5x2+2x+7)dx\int { ({ 5x }^{ 2 }+2x+7 } )dx

=53x3+x2+7x+k=\frac { 5 }{ 3 } { x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+7x+k

Intervall

Beräkningen vi gjorde nyss är för att hitta integralens funktion på hela dess definitionsmängd. När man beräknar areor och liknande vill man dock oftast begränsa sig till ett särskilt intervall, t.ex: [0;10][0;10].

Om vi bara vill ha integralen för f(x)f(x) mellan x=0x=0 och x=10x=10 skriver man den såhär:

010f(x)dx\int _{ 0 }^{ 10 }{ f(x) } dx

Efter att ha beräknat integralen ersätter man sedan xx med intervallens värden och subtraherar den första från den andra. Den generella formeln är alltså:

abf(x)dx=F(b)F(a)\int _{ a }^{ b }{ f(x) } dx=F(b)-F(a)

Följ exemplet nedan så märker du att det är väldigt enkelt!

Uppgift 2

Beräkna integralen (5x2+2x+7)dx\int { ({ 5x }^{ 2 }+2x+7 } )dx på intervallet [1;2][1;2]

Lösning

Vi räknade redan ut integralen i vårt förra exempel och fick fram =53x3+x2+7x+k=\frac { 5 }{ 3 } { x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+7x+k. Nu återstår alltså bara att beräkna det under vårt intervall!

  • Om x=2x=2: F(2)=5323+22+72=538+4+14=403+18=943F(2)=\frac { 5 }{ 3 } \cdot { 2 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 2 }+7\cdot 2=\frac { 5 }{ 3 } \cdot 8+4+14=\frac { 40 }{ 3 } +18=\frac { 94 }{ 3 }

  • Om x=1x=1: F(1)=5313+12+71=53+1+7=293F(1)=\frac { 5 }{ 3 } { 1 }^{ 3 }+{ 1 }^{ 2 }+7\cdot 1=\frac { 5 }{ 3 } +1+7=\frac { 29 }{ 3 }

Nu fortsätter vi integralberäkningen genom att följa formeln!

12(5x2+2x+7)dx\int _{ 1 }^{ 2 }{ ({ 5x }^{ 2 }+2x+7) } dx

=F(2)F(1)=F(2)-F(1)

=943293=\frac { 94 }{ 3 } -\frac { 29 }{ 3 }

=653=\frac { 65 }{ 3 }

Comments

Ted Klein Bergman

x=10 upprepas två gånger direkt efter varandra. Gör en snabb överblick genom kursen för att se att jag kommer ihåg allt så tänkte att det kanske är bra att kommentera om sådana saker ^^

Tristan Edwards

@tedkleinbergman: Tack för hjälpen! Nu är även det fixat! :)