Lesson 9

L'Hospitals regel

21

L'Hospitals regel är väldigt användbar för att räkna ut jobbiga odefinierade gränsvärden som 00\frac { 0 }{ 0 } eller \frac { \infty }{ \infty } .


Regeln säger att om vi har:

  • limxaf(x)=0\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x)=0 } och limxag(x)=0\lim _{ x\rightarrow a }{ g(x)=0 }

eller

  • limxaf(x)=±\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x)=\pm \infty } och limxag(x)=±\lim _{ x\rightarrow a }{ g(x)=\pm \infty }

...och gränsvärdet limxaf(x)g(x)\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f'(x) }{ g'(x) } } existerar, så har vi:


limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f(x) }{ g(x) } } =\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f'(x) }{ g'(x) } }


Uppgift

Räkna ut gränsvärdet limx0sinxx\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { x } }{ x } }

Lösning

Vi provar först att räkna ut gränsvärdet på det "vanliga" sättet.


Vi sätter:

  • f(x)=sinxf(x)=\sin { x }

  • g(x)=xg(x)=x

Vi har limx0f(x)=sin(0)=0\lim _{ x\rightarrow 0 }{ f(x)= } \sin { (0) } =0 och limx0g(x)=0\lim _{ x\rightarrow 0 }{ g(x)= } 0 och får därför:


limx0sinxx=00\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { x } }{ x } } =\frac { 0 }{ 0 } .


Här tar det stopp eftersom vi får fram ett odefinierat gränsvärde.


Vi räknar nu ut derivatorna och applicerar l'Hospitals regel för att se om det fungerar istället!

  • f(x)=cosxf'(x)=\cos { x }

  • g(x)=1g'(x)=1

Vi har limx0f(x)=cos(0)=1\lim _{ x\rightarrow 0 }{ f'(x)= } \cos { (0) } =1 och limx0g(x)=1\lim _{ x\rightarrow 0 }{ g'(x)= } 1 och får därför:


limx0cosxx=11=1\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \cos { x } }{ x } } =\frac { 1 }{ 1 } =1


Gränsvärdet finns, och enligt l'Hospitals regel har vi därför:


limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)=1\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f(x) }{ g(x) } } =\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f'(x) }{ g'(x) } } =1


OBS! Om l'Hospitals regel skulle ge dig 00\frac { 0 }{ 0 } eller något annat odefinierat gränsvärde igen, så kan du prova att applicera regeln igen på den nya funktionen!


Det är nämligen så att kriterierna i definitionen ovan även gäller för derivatorna:


limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)=...\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f(x) }{ g(x) } } =\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f'(x) }{ g'(x) } } =\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f''(x) }{ g''(x) } } =\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f'''(x) }{ g'''(x) } } =...


Comments

profile/avatar/default
Andre Lindgren

Istället för (cos x)/x borde det stå (cos x)/1 för g'(x) = 1 och inte x.