Lesson 10

Serier, konvergens & divergens

30

Vad är en serie?

En serie är en summering av ett oändligt antal termer.

Vi kan till exempel tänka oss serien 1+2+3+4+...1+2+3+4+... som fortsätter i all oändlighet! Denna kan också skrivas som n=0n\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ n } .

Den här notationen betyder att man börjar på n=0n=0, och sedan summerar alla nn-termer ända fram till "slutstationen" (som i det här fallet är \infty och som aldrig kommer uppnås).

Konvergens och divergens

Om termerna i en serie minskar tillräckligt fort kan summan gå mot ett ändligt tal, man säger då att serien konvergerar.

Ett annat (lite mer matematiskt) sätt att formulera detta på är att serien n=0an\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n } } är konvergent om gränsvärdet limNn=0Nan\lim _{ N\rightarrow \infty }{ \sum _{ n=0 }^{ N }{ { a }_{ n } } } existerar. Om gränsvärdet inte existerar säger man istället att serien är divergent (serien går mot oändligheten).

Ett exempel på en konvergerande serie är n=11n2\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } } som ger 11+14+19+116+...\frac { 1 }{ 1 } +\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 9 } +\frac { 1 }{ 16 } +...

På bilden nedan ser vi tydligt att termerna går mot 00 ju längre serien blir.


⚠️ OBS!

Till skillnad från vad man intuitivt kan tro så är serien n=11n\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { n } } } inte konvergent, utan divergent. Anledningen till detta är att termerna inte blir tillräckligt små tillräckligt snabbt helt enkelt.

1n\sum { \frac { 1 }{ { n } } } kallas därför också för den harmoniska serien.

Uträkning

På tentor måste man ofta ta reda på om en serie är konvergent eller divergent. Det finns flera sätt att göra detta på, i de flesta fall handlar det om att skriva om en svår serie till något enklare som man redan känner till.

P-testet

1np\sum { \frac { 1 }{ { { n }^{ p } } } } konvergerar om p>1p>1 och divergerar om p1p\le 1

Geometriska serierrn\sum { { r }^{ n } } konvergerar om rr är mellan 1-1 och 11

Divergenstestet

Om vi har en serie an\sum { { a }_{ n } } där limnan\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { a }_{ n } } inte är lika med 00, så är serien divergent.

Om limnan=0\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { a }_{ n } } =0 är serien obestämd.Det här borde vara det första testet du utför när du får en serie, eftersom du kan spara mycket tid om det direkt visar sig att serien divergerar!

Jämförelsetestet

Om vi har 2 serier an\sum { { a }_{ n } } och bn\sum { { b }_{ n } } som bara innehåller positiva termer, och där anbn{ a }_{ n }\le { b }_{ n } för alla nn, så har vi:

  1. Om bn\sum { { b }_{ n } } (den större serien) konvergerar så konvergerar också an\sum { { a }_{ n } }

  2. Om an\sum { { a }_{ n } } (den mindre serien) divergerar så divergerar också bn\sum { { b }_{ n } }

Gränsvärdetestet

Vi har 2 serier n=0an\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n } } och n=0bn\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { b }_{ n } } som liknar varandra och som bara innehåller positiva termer.

Om gränsvärdet limnanbn\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { a }_{ n } }{ { b }_{ n } } } ger ett ändligt tal LL som inte är lika med 00, så uppför sig serierna på samma sätt (antingen är båda divergenta, eller så är båda konvergenta).

Absolut konvergens

Om an\sum { \left| { a }_{ n } \right| } konvergerar så gör även an\sum { { a }_{ n } } det!

Uppgift 1

Undersök om serien n=03n+25n\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { 3 }^{ n+2 } }{ { { 5 }^{ n } } } } är konvergent eller divergent.

Lösning

Vi skriver om serien till en geometrisk serie!

Vi får n=03n+25n=n=0323n5n=n=0323n5n=n=09(35)n\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { 3 }^{ n+2 } }{ { { 5 }^{ n } } } } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { 3 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ n } }{ { { 5 }^{ n } } } } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { 3 }^{ 2 }\frac { { 3 }^{ n } }{ { { 5 }^{ n } } } } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ 9{ (\frac { 3 }{ 5 } ) }^{ n } }

Vi har nu serien under formen rn\sum { { r }^{ n } } (konstanten 9 spelar ingen roll), där r=35r=\frac { 3 }{ 5 }

Eftersom rr är mellan 1-1 och 1-1 vet vi alltså att serien konvergerar!

Uppgift 2

Undersök om serien n=1nn2cos2(n)\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { n }{ { { n }^{ 2 } }-\cos ^{ 2 }{ (n) } } } är konvergent eller divergent.

Lösning

Eftersom vi vet att cosinustermen aldrig blir särskilt stor kan vi anta att seriens termer uppför sig på samma sätt som n=1nn2\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { n }{ { { n }^{ 2 } } } } , vilket i sin tur är detsamma som n=11n\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { { n } } } } (vi delar bara nämnaren och täljaren med nn ), som är en serie vi känner till!

Vi har alltså 2 serier som liknar varandra: n=1nn2cos2(n)\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { n }{ { { n }^{ 2 } }-\cos ^{ 2 }{ (n) } } } och den harmoniska serien n=11n\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { { n } } } } .

Skulle vi kunna använda jämförelsetestet?

Vi ser att båda serierna bara kan innehålla positiva termer, eftersom vi börjar på n=1n=1 och eftersom 1cos(n)1-1\le \cos { (n)\le 1 } vilket gör att 0cos2(n)10\le \cos ^{ 2 }{ (n)\le 1 }

Slutligen vet vi att nn2cos2(n)\frac { n }{ { { n }^{ 2 } }-\cos ^{ 2 }{ (n) } } alltid kommer att vara större än 1n\frac { 1 }{ { { n } } } eftersom vi subtraherar ett positivt tal från nämnaren (och ju mindre nämnaren är, desto större blir termen).

Serierna uppfyller alltså alla krav för jämförelsetestet, och eftersom vi vet att 1n\frac { 1 }{ { { n } } } (den mindre serien) divergerar, så divergerar även nn2cos2(n)\frac { n }{ { { n }^{ 2 } }-\cos ^{ 2 }{ (n) } } (den större serien)!

Comments

Yas Bakhshi

divergent