Lesson 2

Derivator

21

Vad är en derivata?

Derivator används framförallt för att mäta förändringen av en funktion. Derivatan till funktionen f(x)f(x) betecknas antingen f(x)f'(x) (läses "f prim av x") eller dfdx\frac { df }{ dx } (läses "df, dx").

På bilden nedan ser ni kurvan till funktionen f(x)f(x). Den röda linjen är tangenten till kurvan vid x=6x=6. Ur ett geometriskt perspektiv är derivatan till f(x)f(x) i x=6x=6 detsamma som riktningskoefficienten till kurvans tangent vid x=6x=6.

Derivatan f'(6) är alltså detsamma som riktningskoefficienten till den röda linjen.

Strikt definition

Derivatans strikta definition används sällan i uträkningar, men ibland måste man rabbla upp den på tentan för att visa att man kan den.

Derivatan till funktionen ff i punkten aa definieras som:

f(a)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(a+h)-f(a) }{ h } }
  • Om gränsvärdet existerar i en punkt aa säger man att "ff är deriverbar i punkten aa".

  • Om det existerar ett gränsvärde för varje punkt i funktionens definitionsmängd säger man att "ff är deriverbar".

Deriveringsformler

Här nedanför ser ni en tabell med de vanligaste funktionerna f(x)f(x) och deras derivata f(x)f'(x). Dessa måste man lära sig utantill!

Funktion f(x)Derivata f′(x)
kk(konstant)00
xx11
nxnxnn
xnx^nnxn1nx^{n-1}
1x\frac 1 x1x2- \frac 1 {x^2}
x\sqrt x12x\frac 1 {2 \sqrt x}
ln(x)ln(x)1x\frac 1 x
exe^xexe^x
sin(x)sin(x)cos(x)cos(x)
cos(x)cos(x)sin(x)-sin(x)
tan(x)tan(x)1+tan2x1+tan^2x
arcsin(x)arcsin(x)11x2\frac 1 {\sqrt 1-x^2}
arccos(x)arccos(x)11x2- \frac 1 {\sqrt 1-x^2}
arctan(x)arctan(x)11+x2\frac 1 {1+x^2}
f(x)g(x)(produkt)f(x)g(x) (produkt)f(x)g(x)+(fx)g(x)f'(x)g(x)+(fx)g'(x)
f(x)g(x)\frac {f(x)} {g(x)}f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)} {g(x)^2}

Uppgift

Räkna ut derivatan till funktionen f(x)=x3+5x+7f(x)={x}^{3} + 5x + 7

Lösning

Vi har tre stycken termer: x3x^3, 5x5x och 77.

Vi deriverar dem en i taget:

  1. Derivatan till x3{ x }^{ 3 } är 3x23{x}^2 (se xnx^n i tabellen)

  2. Derivatan till 5x5x är 55 (se nxnx i tabellen)

  3. Derivatan till 77 är noll eftersom det är en konstant! (se kk i tabellen)

Vi får alltså att derivatan till funktionen f(x)f(x) är: f(x)=3x2+5f'(x)=3{ x }^{ 2 }+5

OBS! Om du skulle råka glömma en deriveringsformel kan du enkelt komma tillbaka till den här sidan genom att gå in på: http://derivator.se! :-)

Comments

icon

Be the first to comment!