Lesson 3

Kurvritning med teckentabell

22

Derivator är väldigt användbara för att hitta hur kurvan till en funktion ser ut.

  • Om derivatan till en funktion är negativ är funktionens kurva avtagande

  • Om derivatan till en funktion är positiv är funktionens kurva växande

Det bästa sättet att förstå detta är att gå igenom ett exempel.

Ett enkelt exempel

Låt säga att vi vill hitta hur kurvan till funktionen f(x)=x3+3x2+2f(x)={ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+2 ser ut.

Vi börjar med att derivera funktionen för att hitta funktionens stationära punkter:f(x)=3x2+6x=3x(x+2)f'(x)={ 3x }^{ 2 }+6{ x }=3x(x+2)

Här ser vi att derivatan blir noll när x=0x=0 eller när x=2x=-2. Det är alltså vid de här punkterna som funktionen svänger.

Vi ritar nu upp en tabell på följande sätt:

Talen där derivatan blir noll skriver vi högst upp.

Vi behöver nu fylla i det som saknas. För att göra det behöver vi:

  • Ett tal som är mindre än 2-2

  • Ett tal som är större än 2-2 men mindre än 00

  • Ett sista tal som är större än 00

Vi väljer till exempel 3-3, 1-1 och 11. Vi sätter in de här talen i deriveringsfunktionen för att se om resultatet blir positivt eller negativt.

  • f(3)=9(3+2)=9f'(-3)=-9(-3+2)=9, som är positivt

  • f(1)=3(1+2)=3f'(-1)=-3(-1+2)=-3, som är negativt

  • f(1)=3(1+2)=9f'(1)=3(1+2)=9, som är positivt

Vi vet alltså nu var derivatan är positiv och negativ, och därför också var funktionen är växande och var den är avtagande!

Vi kan nu fylla i resten av tabellen


Vi vet nu att funktionen f(x)f(x) har en maxpunkt vid 2-2 och en minimipunkt vid 00. Vi kan nu räkna ut vilket värde funktionen antar vid dessa punkter:

  • f(2)=(2)3+3(2)2+2=8+12+2=6f(-2)={ (-2) }^{ 3 }+3{ (-2) }^{ 2 }+2=-8+12+2=6

  • f(0)=03+302+2=2f(0)={ 0 }^{ 3 }+3\cdot { 0 }^{ 2 }+2=2

Den slutgiltiga tabellen ser alltså ut såhär!


Nu vet vi att kurvan till funktionen f ser ut ungefär såhär!


Comments

Ted Klein Bergman

Det har uppstått massor med frågetecken i texten som gör att det blir svårt att läsa. Ville bara informera :)

Tristan Edwards

@tedkleinbergman: Oj tack! Har fixat det nu! :)