Stokastiska variabler & listbarhet

20 thanks

  • Stokastiska variabler

    +
  • En stokastisk variabel är en variabel definierad på ett utfallsrum och har ett värde som varierar slumpmässigt. Det finns två olika typer av utfallsrum, Diskret och Kontinuerlig. Det rum som en stokastisk variabel är definierad på utgör dess domän(definitionsmängd) och bestämmer om det är en kontinuerlig eller diskret stokastisk variabel.

    +
  • Stokastiska variabler och det värde de innehar betecknas på olika sätt. Stokastiska variabler skrivs med stora bokstäver X,YX,Y medan värdet på variabeln representeras av små bokstäver x,yx,y . Detta gör att samma bokstav oftast uppträder i båda formerna samtidigt, t.ex P(X=x)P(X=x)  som är sannolikheten att den stokastiska variabeln XX  har värdet xx .

    +
  • Sett ur ett exempel med tärningskast kan XX  tänkas vara en representation av ett tärningskast genom att vara en variabel som ger ett värdena {1,...,6}\{1,...,6\}  helt slumpmässigt. Om vi vill undersöka sannolikheten för att tärningen får värdet 22  blir följaktligen x=2x=2  som substitueras in så att P(X=2)P(X=2) . 

    +
  • Om tärningen ska kastas flera gånger är det alltså flera stokastiska variabler {X}_{1}, {X}_{2}, \dots , {X}_{n}   som krävs för att definiera situationen, ett för varje gång tärningen kastas.

    +
  • Listbarhet

    +
  • Innan vi kan prata om stokastiska variabler är det viktigt att prata om en egenskap som stokastiska variabler har eller inte har: listbarhet.

    +
  • En talmängd är listbar om det är möjligt att skriva ut utfallsserien. Ett enklare på en listbar mängd är de tre första heltalen, {1,2,3}\{1,2,3\} , där faktumet att vi kan skriva ut det bevisar att det är listbart. En motsats till detta vore om vi hade en talmängd som också innefattade alla decimaler. Om vi skulle försöka skriva ut en sådan talmängd skulle det resultera i något sånt här

    2
    Alexander Viklund
    Christian Abdelmassih
  • \{1,2,3\}\rightarrow \{1,1.5,2,2.5,3\}\rightarrow \{1,1.25,1.5,1.75,2,2.25,2.5,2.75,3\}\rightarrow \dots 

    +
  • Det är alltså omöjligt att skriva talmängden då det alltid kommer att fattas tal mellan två tal som vi redan har. Denna typ av talmängd är alltså inte listbar.

    +
  • Bortsett från detta påverkar inte talmängers listbarhet av dess oändlighet. Till exempel är de positiva heltalen {0,1,2,3,...,}\left\{ 0,1,2,3,...,\infty \right\}  är fortfarande en listbar mängd. Detta då det inte saknas något tal mellan två tal som vi redan har. Det saknas inget tal mellan 11  och 22  eller något annat följande talpar!

    +
  • Diskret eller kontinuerlig stokastisk variablel?

    +
  • Den diskreta stokastiska variabeln har ett utfallsrum som är listbart medan den kontinuerliga stokastiska variabeln har ett utfallsrum som är icke-listbart

    +
  • Ett tärningskast kan respresenteras av en diskret stokastisk variabel medan en kontinuerlig stokastik variabel är mer lämplig för om vi vill mäta livslängden hos en glödlampa. I det fallen skulle vår kontinuerliga stokastiska variabel mäta tiden och då tiden inte är listbar kan den inte heller variabeln vara diskret.

    +
  • Flerdimensionella stokastiska variabler

    +
  • Stokastiska variabler av flera dimensioner kan med enkelhet betraktas som ett multipelpar av flera endimensionella utfall som inträffar samtidigt och tillsammans utgör det totala utfallet. Detta gör att den flerdimensionella s.v. YY ges av flera endimensionella variabler Xi{X}_{i} så att Y={X1,X2,...,Xn}Y= \{ {X}_{1},{X}_{2},...,{X}_{n} \}  .

    +
  • Det klassiska exemplet med tärningskast kan därmed modifieras för att bli flerdimensionell genom att ha flera tärningar i samma hand som kastas samtidigt. Varje enskild tärning motsvarar endimensionella s.v. Xi{X}_{i} och tillsammans utgör alla dessa tärningar den flerdimensionella variabeln YY .

    +

Did it help you? Click to say "thanks" to the author!

Next lesson: Sannolikhetslärans tre funktioner

Want to create your own course on Ludu?

Back to lesson