Lesson 1

Sannolikhetslärans grunder

51

För att kunna med enkelhet tala och beräkna på sannolikhetsbaserade förlopp behövs först ett antal begrepp definieras.


Utfallsrum

Ett utfall är det direkta resultat vi kan observera från en sannolikhetsbaserad situation. Ett utfallsrum är mängden av alla möjliga utfall som kan uppstå. Utfallsrummet betecknas med Ω\Omega medan individuella utfall betecknas med ωi{\omega}_{i} . Notera att utfallsrummet inte har något att göra med vad den faktiska sannolikheten för varje värde att uppstå, den snarare beskriver alla värden som kan uppstå.


Ett exempel på en sannolikhetsbaserad situation är ett tärningskast. Talet som tärningen visar vid kast är utfallet så som ωi=2{\omega}_{i}=2 medan utfallsrummet är alla värden som kan uppstå vid utfall, i detta fall Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\left\{1,2,3,4,5,6\right\} .


Händelse

En händelse AA är en samling av en eller flera utfall så att A={ω1,...,ωn}A=\left\{ { \omega }_{ 1 }, ... ,{ \omega }_{ n } \right\} . Om någon utav ω1,...,ωn{\omega}_{ 1 }, ... ,{ \omega }_{ n } är ett utfall som uppstår anses alltså händelsen ha inträffat.


För att jämföra med ovanstående tärningsexempel skulle en händelse kunna vara A={2,3}A=\{2,3\} . De gånger tärningen visar 22 eller 33 vid tärningskast har alltså händelsen inträffat.

Händelsemängder


Union och Snitt


Säg att vi har två olika händelser AA och BB som har en del utfall gemensamt men inte alla (t.ex. A={ω1,ω2},B={ω2,ω3}A=\{ {\omega }_{ 1 } ,{ \omega }_{ 2 } \}, \, B= \{ {\omega }_{ 2 } ,{ \omega }_{ 3 } \} ). I det fallet kan det vara intressant att prata om två nya typer av händelser:

  • Händelsen ABA \cap B som uppstår då AA och BB inträffar samtidigt, uttalas snittet.

  • Händelsen ABA \cup B som uppstår då AA eller BB eller både och inträffar, uttalas unionen.

Om A={ω1,ω2},B={ω2,ω3}A=\{ {\omega }_{ 1 } ,{ \omega }_{ 2 } \}, \, B= \{ {\omega }_{ 2 } ,{ \omega }_{ 3 } \} så skulle snittet av händelserna vara AB={ω2} A \cap B = \{ {\omega}_{2} \} medan unionen av händelserna vara AB={ω1,ω2,ω3} A \cup B = \{ {\omega }_{ 1 } ,{ \omega }_{ 2 }, {\omega }_{ 3 } \}



Disjunkta händelser och den tomma mängden


Om vi istället har två händelser AA och BB som inte har några utfall gemensamt alls, så som A={ω1,ω2},B={ω3,ω4}A=\{ {\omega }_{ 1 } ,{ \omega }_{ 2 } \}, \, B=\{ {\omega }_{ 3 } ,{ \omega }_{ 4 } \} , skulle de då vara disjunkta. Händelsen att båda inträffar samtidigt ABA \cap B blir följaktligen tom på utfall och kallas därför den tomma mängden som betecknas med \varnothing så att: AB=={}A \cap B=\varnothing= \left\{ \right\} .



Komplementhändelse


Om vi istället har en händelse AA så kan dess komplementära händelse betecknas A{A}^{*} som innehåller alla utfall som AA inte innehåller.


Om vi har utfallsrummet Ω={ω1,ω2,ω3}\Omega=\{ {\omega }_{ 1 }, {\omega }_{ 2 }, {\omega }_{ 3 } \} och händelsen AA är definieras som A={ω1,ω3}A=\{ {\omega}_{1 },{\omega }_{ 3 } \} blir då komplementhändelsen A={ω2}{A}^{*} = \{{\omega }_{ 2 } \}



Sammanfattning


Alla dessa olika händelser kan illustreras så att utfallsrummet Ω\Omega är en yta där händelserna AA och BB är en del av denna yta.


Den röda färgen markerar händelsens utfallsmängd


Sannolikhet

Sannolikheter definieras med avseende på händelser. Om vi vill veta vad sannolikheten för händelsen AA att inträffa betecknas det P(A)P(A) . Säg istället att vi har två händelser A,BA,B och söker sannolikheten för att både inträffar samtidigt (alltså snittet), då betecknas det P(AB)P(A \cap B) . Sambandet mellan att händelserna inträffar samtidigt och att någon av händelserna (unionen) inträffar P(AB)P(A \cup B) ges av följande formel.



P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A \cup B ) =P(A) + P(B)-P(A \cap B)



Kombinatorik

För att kunna behandla repeterande sannolikhetsbaserade förlopp krävs kännedom om kombinatorik. Det som i huvudsakligen är intressant är att beräkna antalet gynnsamma kombinationer (som satisfierar det som efterfrågas) och antalet möjliga kombinationer. Med dessa kan man beräkna sannolikheten för att händelsen inträffar genom



Sannolikhet=Gynnsamma utfallMjliga utfallo¨\text{Sannolikhet} = \frac{ \text{Gynnsamma utfall} }{ \text{Möjliga utfall} }



För att kunna beräkna dessa behöver vi känna till hur kombinationerna tillkommer. Det finns fyra olika vis vi kan utföra en dragning på. Vi kan ta hänsyn till ordningen utfallen kommer i och så kan vi efter varje dragning lägga tillbaka det dragna utfallet. Totalt sett ger detta oss dessa olika dragningstekniker.


  • Med hänsyn till ordning, med återläggning.

  • Utan hänsyn till ordning, med återlämning.

  • Med hänsyn till ordning, utan återläggning.

  • Utan hänsyn till ordning, utan återläggning.


Alla dessa olika dragningstekniker kräver olika beräkningar för att beräkna antalet kombinationer eller antalet utfall som kan uppstå. Antalet möjliga sätt det går att dra kk element ur en population av nn element ges av:


Där nn över kk ges av

(nk)=n!k!(nk)!\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) =\frac{n!}{k!(n-k)!}


Miniräknartips: För att beräkna (nk)\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) med enkelhet på grafräknaren så använd nnCrkn \, \, \, nCr \, \, \, k som finns på MATH.


Metoden för att beräkna sannolikhet genom kombinatorik har ett annorlunda tankesätt. Tanken är att man använder formlerna för att beräkna både de gynnsamma fallen och de möjliga fallen. För att ge klarhet till dessa formler tänker vi oss ett exempel med en urna.

Exercise

Vi har en urna med 1414 kulor varav 44 är vita, 77 är svarta och 33 är gråa. Nu drar vi 55 kulor. Vad är sannolikheten att vi får 22 gråa kulor och 33 svarta om vi inte tar hänsyn till ordning och inte använder återläggning?

Solution

Först beräknar vi de möjliga fallen. Dessa ges av att sätta k=5k=5 och n=14n=14 samt beräkna Mjliga fallo¨=(145)=2002\text{Möjliga fall} = \left( \begin{matrix} 14 \\ 5 \end{matrix} \right) =2002 .


Nu beräknar vi de gynnsamma fallen genom att tänka att vi delar in kulorna i tre olika högar efter färg. Först tar vi reda på hur många kombinationer vi kan dra k=2k=2 gråa kulor ur en hög av n=3n=3 gråa kulor genom att beräkna (32)=3 \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) =3 .


Vi har nu dragit 22 av 55 gånger och har därför k=3k=3 dragningar kvar att utföra. Vi tar nu reda på antalet kombinationer ur högen med n=7n=7 svarta kulor. Detta ger oss (73)=35\left( \begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix} \right) =35


Vi beräknar nu det totala antalet gynnsamma fall genom att multiplicera de gynnsamma kombinationerna vi fått från beräkning med varje hög



Antal gynnsamma utfall=(32)(73)=335=105\text{Antal gynnsamma utfall}=\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix} \right) =3*35=105



Avslutningen dividerar vi de gynnsamma fallen med de möjliga och får sannolikheten


Sannolikhet=Gynnsamma utfallMjliga utfallo¨=(32)(73)(145)=3352002=0.0524\text{Sannolikhet}=\frac { \text{Gynnsamma utfall} }{ \text{Möjliga utfall} } =\frac { \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix} \right)}{ \left( \begin{matrix} 14 \\ 5 \end{matrix} \right)} =\frac { 3*35 }{ 2002 } =0.0524



Sannolikheten att dra 22 gråa kulor och 33 svarta är alltså 5.245%5.245 \, \%

Betingad sannolikhet

Säg att vi har händelserna AA och BB som har ett beroende; om AA inträffar förändras sannolikheten för att BB ska inträffa. I sannolikhetsläran kallas detta sannolikheten för BB betingat AA och betecknas P(BA)P \left( B \, |A \right) . Sambandet mellan betingat och hur händelser vanligtvis inträffar ges av formeln



P(BA)=P(AB)P(A)P\left( { B \, }|{ A } \right) =\frac { P(A \cap B) }{ P(A) }



Komplementhändelsen P(BA)P \left( { {B}^{*} \,}|{A} \right) till P(BA)P\left( { B \, }|{ A } \right) ges av



1P(BA)=P(BA)1-P\left( { B \, }|{ A } \right) =P\left( { {B}^{*} \, }|{ A } \right)



Exercise

  • Sannolikheten att en student går på torsdagspuben är 0.80.8

  • Sannolikheten att en student går på puben och skolkar är 0.60.6

Vad är sannolikheten att studenten kommer att skolka på fredagens morgonföreläsning givet att den var på torsdagspuben?

Solution

Vi har att

  • P(Gr p puba˚a˚)=0.8P(\text{Går på pub})=0.8

  • P(Gr p puba˚a˚Skolkar)=0.6P(\text{Går på pub} \cap \text{Skolkar})=0.6


Vi söker P(Skolkar  Gr p puba˚a˚)P(\text{Skolkar } \vert \text{ Går på pub}) och beräknar det genom


P(Skolkar  Gr p puba˚a˚)=P(Gr p pub a˚a˚ skolkar)P(Gr p puba˚a˚)=0.60.8=0.75P( { \text{Skolkar } }|{ \text{ Går på pub}})= \frac {P(\text{Går på pub } \cap \text{ skolkar})}{P(\text{Går på pub})} = \frac {0.6}{0.8} = 0.75


Detta innebär att det finns en 75%75 \% risk att studenten missar morgonföreläsningen dagen efter en torsdagspub om uppgiftens antaganden är korrekta. Huruvida detta stämmer överens med verkligheten lämnas till läsaren att undersöka.

Det finns även en mera omfattande formler som beskriver förhållandet mellan P(BA)P \left( {B \,}|{A} \right) och P(AB)P \left( {A \,}|{B} \right) som ges av



Baye's sats


Säg att vi har flera händelser A1,A2,,An{A}_{1}, {A}_{2}, \cdots, {A}_{n} och BB. Säg också att alla händelser Ai{A}_{i} där 1in1 \le i \le n är disjunkta och tillsammans utgör hela utfallsrummet Ω\Omega.


Då kan vi använda Baye's sats i samband med betingad sannolikhet för att till exempel beräkna P(BAi)P \left( {B \,}|{ {A}_{i} } \right) då vi har P(AiB)P \left( { {A}_{i} \,}|{B} \right). Bayes sats har följande utseende.



P(AiB)=P(Ai)P(BAi)j=1nP(Aj)P(BAj)P\left( { A }_{ i } \, |{ B } \right) =\frac { P({ A }_{ i })P\left( { B \, }|{ { A }_{ i } } \right) }{ \sum _{ j=1 }^{ n }{ P({ A }_{ j })P\left( { B \, }|{ A }_{ j } \right) } }



Lagen om total sannolikhet


Nämnaren i Baye's sats är speciell. Den är i själva verket en av sannolikhetsteoriens mest etablerade satser – Lagen om total sannolikhet. Den säger att om vi har flera disjunkta händelser A1,A2,,An{A}_{1}, {A}_{2}, \cdots, {A}_{n} som tillsammans utgör ett utfallsrum Ω\Omega så kan till exempel sannolikheten av en annan händelse P(B)P(B) beräknas då vi har P(AiB)P \left( { {A}_{i} \,}|{B} \right). Satsen ser ut såhär och motsvarar nämnaren i förra formeln.



P(B)=i=1nP(Ai)P(BAi)P(B)=\sum _{ i=1 }^{ n }{ P({ { A }_{ i } })P\left( { B \, }|{ { A }_{ i } } \right)}



Exercise

Vi har att:

  • Sannolikheten att studenter är på borggården givet att solen skiner är 0.850.85

  • Sannolikheten att ingen student är på borggården givet att solen inte skiner är 0.70.7

  • Sannolikheten att solen skiner är 0.30.3

Vad är sannolikheten att solen skiner givet att studenter är på borggården?

Solution

Vi har givet att:

  • P(befolkad borggrd a˚ soligt)=0.85P\left( { \text{befolkad borggård } }|{ \text{ soligt} } \right) = 0.85

  • P(tom borggrd a˚ inte soligt)=0.7P\left( { \text{tom borggård } }|{ \text{ inte soligt} } \right) = 0.7

  • P(soligt)=0.3P(\text{soligt}) = 0.3

Vi vill beräkna P(soligt  befolkad borggrda˚)P\left( { \text{soligt } }\, \vert \,{ \text{ befolkad borggård} } \right). Detta kan vi göra genom lagen om total sannolikhet eller Bayes sats och därför gör både och! Vi börjar med Bayes sats då det är den enklaste lösningen.



Bayes sats


För att ta reda på P(soligt  befolkad borggrda˚)P\left( { \text{soligt } }|{ \text{ befolkad borggård} } \right) ställer vi upp bayes sats för detta problem



P(soligt  befolkad borggrda˚)=P(soligt)P(befolkad borggrd a˚ soligt)P(soligt)P(befolkad borggrd a˚ soligt)+P(inte soligt)P(befolkad borggrd a˚ inte soligt)P\left( { \text{soligt } }|{ \text{ befolkad borggård} } \right)=\frac{ P(\text{soligt}) P\left( { \text{befolkad borggård } }|{ \text{ soligt} } \right) }{ P(\text{soligt}) P\left( { \text{befolkad borggård } }|{ \text{ soligt} } \right) + P(\text{inte soligt}) P\left( { \text{befolkad borggård } }|{ \text{ inte soligt} } \right)}



Vi sätter in siffrorna och får det till



P(soligt  befolkad borggrda˚)=0.30.850.30.85+(10.3)(10.7)=0.5484P\left( { \text{soligt } }|{ \text{ befolkad borggård} } \right)=\frac{0.3*0.85}{0.3*0.85+(1-0.3)*(1-0.7)}=0.5484



Lagen om total sannolikhet


Vi beräknar P(soligt  befolkad borggrda˚)P\left( { \text{soligt } }|{ \text{ befolkad borggård} } \right) genom



P(soligt  befolkad borggrda˚)=P(befolkad borggrd a˚ soligt)P(befolkad borggrda˚)P\left( { \text{soligt }}|{\text{ befolkad borggård} } \right) = \frac {P(\text{befolkad borggård } \cap \text{ soligt})}{P(\text{befolkad borggård})}



Vi beräknar därför P(befolkad borggrda˚soligt)P( \text{befolkad borggård} \cap \text{soligt}) genom betingat-sambandet



P(befolkad borggrda˚soligt)=P(befolkad borggrd a˚ soligt)P(soligt)P( \text{befolkad borggård} \cap \text{soligt}) = P\left( { \text{befolkad borggård } }|{ \text{ soligt} } \right) * P(\text{soligt})


P(befolkad borggrda˚soligt)=0.850.3=0.255P( \text{befolkad borggård} \cap \text{soligt})=0.85*0.3=0.255



och därefter P(befolkad borggrda˚)P(\text{befolkad borggård}) genom lagen om total sannolikhet



P(befolkad borggrda˚)=P(soligt)P(befolkad borggrd a˚ soligt)+(inte soligt)P(befolkad borggrd a˚ inte soligt)P(\text{befolkad borggård}) = P(\text{soligt}) * P\left( { \text{befolkad borggård } }|{ \text{ soligt} } \right) + (\text{inte soligt}) * P\left( { \text{befolkad borggård } }|{ \text{ inte soligt} } \right)


P(befolkad borggrda˚)=0.30.85+0.70.3=0.465P(\text{befolkad borggård}) =0.3*0.85+0.7*0.3=0.465



Avslutningsvis beräknar vi


P(soligt  befolkad borggrda˚)=0.2550.465=0.5484P\left( { \text{soligt }}|{ \text{ befolkad borggård}} \right) = \frac {0.255}{0.465} = 0.5484



Oberoende händelser

Oberoende händelser är händelser som genuint inte har något med varandra att göra, det vill säga, händelser där sannolikheten att en händelse BB inträffar givet att händelse AA har inträffat är P(B)P(B) . Det vill säga, att AA inte på något vis förändrar sannolikheten att BB inträffar. Oberoende händelser medför därmed följande för händelserna AA och BB



P(BA)=P(B),P(AB)=P(A)P(B)P( { B \, }|{ A } )=P(B) , \quad P(A \cap B) = P(A)P(B)



Oberoende vs disjunkta händelser

Notera att begreppet oberoende inte är på något vis relaterat till att händelserna är disjunkta. För att göra detta tydligt säger vi att vi har två händelser AA och BB .


När två händelser är oberoende så måste de vara från olika utfallsrum, alltså att AΩ1A \subseteq {\Omega}_{1} och BΩ2B \subseteq {\Omega}_{2} där utfallsrummen är olika som till exempel. Ω1={1,2,3},Ω2={sno¨,regn,sol}{\Omega}_{1}=\{1,2,3\}, \, {\Omega}_{2}=\{\text{snö},\text{regn},\text{sol}\} .


När två händelser är disjunkta kommer de från samma utfallsrum men inte innehåller samma utfall, dvs A,BΩA,B \subseteq \Omega . Om till exempel Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\{1,2,3,4,5,6\} så kan händelserna vara A={1,2}A=\{1,2\} och B={4,5,6}B=\{4,5,6\} för att de ska vara disjunkta.


Anledningen till att en händelse AA inte kan vara både disjukt och oberoende relativt en annan händelse BB är att AA inte kan både ha samma utfallsrum som BB samtidigt som den har sitt eget utfallsrum.


Exercise

Vi har händelserna AA och BB . Nedan ges sannolikheter för varje händelse att inträffa.


P(A)=0.5,P(B)=0.4P(A)=0.5, \quad P(B)=0.4


Avgör om händelserna är oberoende då P(AB)=0.7P(A \cup B)=0.7 .

Solution

Vi vill kontrollera om P(AB)=P(A)P\left( { A }|{ B } \right) =P(A) och gör detta genom att börjar med att ta redan på vad P(AB)P(A \cap B) med formeln



P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A \cap B)=P(A) + P(B) - P(A \cup B )


P(AB)=0.5+0.40.7=0.2P(A \cap B)=0.5+0.4-0.7=0.2



Vi använder detta resultat för att beräkna P(AB)P\left( { A }|{ B } \right) som ges av



P(AB)=P(AB)P(B)=0.20.4=0.5P\left( { A }|{ B } \right) =\frac { P(A \cap B) }{ P(B) }=\frac{0.2}{0.4}=0.5



P(AB)=0.5,P(A)=0.5P(AB)=P(A)P\left( { A }|{ B } \right)=0.5, \quad P(A)=0.5 \Rightarrow P\left( { A }|{ B } \right)=P(A) vet vi att händelserna är oberoende.

Comments

Erik Dahlström

Man hade lika gärna kunnat kolla att 0.5*0.4 = 0.2 dvs P(A∩B) = P(A)P(B) ->oberoende, right?

Christian Abdelmassih

Precis, det bevisar exakt samma sak fast utan betingade sannolikheter!

Ariel Blomqvist Rova

Det här tycker jag är fett bra. Bara att i en mening få vad sakerna BETYDER i verkligheten. Lättare att generalisera begreppen då.

Max Krog

Christian! Frågan är lite fel tror jag. Den borde vara "Var är sannolikheten att studenten skolkar på fredagens morgonföreläsning givet att det är en torsdagspub?". Vi vet ju redan sannolikheten om den var på torsdagspuben.

Christian Abdelmassih

@maxkrog: Förstår missförståndet, fick själv tänka till. Problemet som uppstår med din formulering är att "det är en torsdagspub" inte är en händelse. Den givna händelsen i fallet är därför "student går på pub". Man kan också säga att det inte finns någon sannolikhet i att det är tordsagspub då det är pub varje torsdag.

profile/avatar/default
Robin Palmberg

Synd bara att sannolikheten blev så hög ;)

profile/avatar/default
Robin Palmberg

Snyggt! :)

Christian Abdelmassih

Jag lade precis till en avslutande rad så att klubbmästeriet inte blir småsura!