Sannolikhetslärans tre funktioner

18 thanks

  • Inledning

    +
  • Denna lektion går igenom tre funktioner som har en central del i sannolikhetsläran. De två första av dessa beskriver likartade saker i olika domäner, ena för den diskreta och den andra för den kontinuerliga domänen. Den tredje är ett en förlängning av de båda och kan appliceras på båda domänerna. 

    2
    Ariel Blomqvist Rova
    Christian Abdelmassih
  • En del utfallsvärden av stokastiska variabler förekommer vanligen oftare än andra. I verkligheten är det väldigt sällan att samtliga utfall av en händelse inträffar med lika stor sannolikhet. Allt är inte ett tärningskast under ideella förhållanden. Av denna anledning är det viktigt att inse att det finns olika sannolikhetsfördelningar som beskriver hur sannolikheten är fördelad över utfallen. Denna fördelning varierar beroende på typen av händelse.

    +
  • Innan man kan beskriva sannolikhetsförningar är det viktigt att veta om utfallsrummet är diskret eller kontinuerligt. Om den är diskret används beskrivs fördelningen med sannolikhetsfunktionen medan om den är kontinuerlig beskrivs den med täthetsfunktionen.

    +
  • Sannolikhetsfunktion

    +
  • För att kunna beskriva sannolikhetsfördelningar myntas ett begrepp unikt för det diskreta fallet: Sannolikhetsfunktionen pX(x) { p }_{ X }\left( x \right) . Med denna funktion given går det att se hur sannolikheten beror på utfallsvärden där värdet på sannolikhetsfunktionen ger sannolikheten att det värdet uppstår, därmed P(X=x)=pX(x)P\left( X=x \right) ={ p }_{ X }\left( x \right)

    +
  • För att knyta an till tidigare exempel med tärningskast visar det sig att ett tärningskast under ideella förhållanden inte beror på utfallsvärdet alls, sannolikheten är alltid 16\frac { 1 }{ 6 }  oavsett vilket värde tärningen visar. För utfallet 22  skrivs blir alltså sannolikheten pX(2)=P(X=2)=16{p}_{X}(2)=P(X=2)=\frac { 1 }{ 6 } . Fördelningen är alltså väldigt platt och jämnt fördelad över utfallen.

    +
  • Säg att tärningen har ett fabriksfel och är obalanserad kommer detta ge en annan sannolikhetsfördelning vilket resulterar i att en del värden uppträder oftare än andra. För att kunna visualisera sannolikhetsfunktionen i såna fall kan man tänka sig ett antal staplar, en för varje utfallsvärde, där varje stapels area representerar sannolikheten för dess utfallsvärde. För en obalanserad tärning med störst chans att få 3,43,4  och därefter 2,52,5  och minst chans att få 1,61,6  kan sannolikhetsfördelningen illustreras såhär

    +
  • Arean av den markerade stapeln motsvarar sannolikheten
    +
  • Om vi skulle beräkna pX(3)=P(X=3){p}_{X}(3)=P(X=3)  skulle alltså det ge oss arean för den markerade stapeln.

    +
  • Exercise

  • Vi har den diskreta sannolikhetsfördelningen som ges av sannolikhetsfunktionen 

    +
  • pX(x)=0.150.85x1{p}_{X}(x)=0.15*{0.85}^{x-1} 

    +
  • Beräkna sannolikheten P(X=2X=3)P(X=2 \cup X=3) .

    +
  • Solution

  • P(X=2X=3)P(X=2 \cup X=3)  är sannolikheten för att vi får ett utfall med värdet 22  eller 33  beräknar vi varje utfalls sannolikhet att uppstå och adderar deras sannolikheter därefter, alltså P(X=2X=3)=pX(2)+pX(3)P(X=2 \cup X=3) = {p}_{X}(2) + {p}_{X}(3)  . Vi får att

    3
    Lukas Daxbio Frösslund
    Christian Abdelmassih

  • pX(2)=0.150.8521=0.150.85=0.1275{p}_{X}(2)=0.15*{0.85}^{2-1}=0.15*0.85=0.1275 

    +

  • pX(3)=0.150.8531=0.150.7225=0.1084{p}_{X}(3)=0.15*{0.85}^{3-1}=0.15*0.7225=0.1084 

    +

  • Detta ger oss

    +
  • P(X=2X=3)=0.1275+0.1084=0.2359P(X=2 \cup X=3)=0.1275+0.1084=0.2359   eller 23.59%23.59 \, \% 

    +
  • Vidare till nästa funktion som gäller för det kontinuerliga fallet - Täthetsfunktionen!

    +
  • Täthetsfunktion

    +
  • För det kontinuerliga utfallsrum och stokastiska variabler används täthetsfunktionen fX(x){ f }_{ X }\left( x \right)  för att beskriva sannolikhetsfördelningen. Täthetsfunktionen mäter sannolikhetsdensiteten alltså hur tätpackad sannolikheten är under angivet område. I detta fall är sannolikheten arean under funktionen. Detta betyder två saker.

    +
  • För det första kan vi inte längre tänka att ett specifikt utfall aa har en sannolikhet P(X=a)P(X=a) . Anledningen till det är att ett specifikt utfall är en punkt och arean under en punkt är noll. 

    +
  • Arean under a är noll
    +
  • Vi måste istället tänka att vi vill mäta sannolikheten för ett intervall aXba \le X \le b  av utfallsvärden där vi integrerar över detta intervall för att ta reda på arean och sannolikheten. 

    +
  • Mellan a och b omsluts arean som motsvarar sannolikheten
    +
  • Sambandet mellan täthetsfunktion och sannolikhet blir därför 

    +
  • P(aXb)=abfX(x)dxP(a \le X \le b) =\int_{ a }^{ b }{ {f}_{X}(x) dx }  

    +
  • Avslutningsvis kommer vi prata om en ytterligare funktion som också används för att beräkna sannolikhet för intervall av utfall, dock för både det diskreta och kontinuerliga fallet.

    +
  • Exercise

  • Vi har den kontinuerliga sannolikhetsfördelningen

    +
  • fX(x)={0.3e0.3x,xgt;00,xlt;0{ f }_{ X }(x)=\begin{cases} 0.3 { e }^{ -0.3 x },\quad x>0 \\ 0, \quad \quad \, \, \, \, \quad x<0 \end{cases}  

    +
  • Beräkna P( 2 < X \le 4) 

    +
  • Solution

  • Då vi xx  inom intervallet är över noll vet vi att fX(x)=0.3e0.3x{ f }_{ X }(x)=0.3 { e }^{ -0.3 x } . För att ta reda på sannolikheten integrerar vi med 22  som undre gräns och 44  som övre gräns. Att det står 2 < X i intervallet spelar ingen roll och kan antas som 2X2 \le X  . Detta  så arean under en punkt är noll. Vi beräknar integralen 

    +

  • P(2X4)=24fX(x)=0.3e0.3xdx=[e0.3x]24=0.2476P(2 \le X \le 4) =\int_{ 2 }^{ 4 }{ { f }_{ X }(x)=0.3 { e }^{ -0.3 x } dx }={ \left[ -{ e }^{ -0.3 x }\right] }_{ 2 }^{ 4 }=0.2476  

    +

  • som också motsvarar 24.76%24.76 \, \% . 

    +
  • Fördelningsfunktion

    +
  • Fördelningsfunktionen skrivs FX(x){ F }_{ X }\left( x \right)  är ännu en funktion som breskriver sannolikhetsfördelningar genom intervall. Formellt beskrivs fördelningsfunktionen som P(-\infty < X \le x)={ F }_{ X }\left( x \right)  . Med detta utgår fördelningsfunktionen med att värdet xx  är den övre gränsen för intervallet.

    2
    Erik Dahlström
    Christian Abdelmassih
  • Diskreta fallet
    För diskreta sannolikhetsfördelningar med sannolikhetsfunktionen pX(k){p}_{X}(k)  blir fördelningsfunktionen FX(x){F}_{X}(x) summan av de pX(ki){p}_{X}({k}_{i})  som intervallet omfattar. Anledningen till att vi infört ett kk  är för att xx  numera är den övre gränsen för intervallet medan kk är värdet på stokastiska variabeln XX . Fördelningsfunktionen beskrivs alltså i det diskreta fallet som

    +
  • P\left( -\infty < X \le x \right)={ F }_{ X }\left( x \right) =\sum _{ k \, \le \, x }{ p_{ X }\left( k \right) }  

    +
  • För att jämföra med det tidigare illustration av tärningskast skulle FX(3){F}_{X}(3)  motsvara

    +
  • Summan av de staplar som högst har utfallsvärdet 3
    +
  • Detta då FX(3)=k3pX(k)=pX(1)+pX(2)+pX(3){F}_{X}(3) = \sum _{ k \, \le \, 3 }{ p}_{ X }(k)={p}_{X}(1) + {p}_{X}(2) + {p}_{X}(3)  .

    +
  • Kontinuerliga fallet
    För det kontinuerliga fallet beskrivs fördelningsfunktionen FX(x){ F }_{ X }\left( x \right) enklast som integralen av täthetsfunktionen fX(t){f}_{X}(t)   med xx  som övre gräns. Alltså

    +
  • P\left( -\infty < X \le x \right)= { F }_{ X }\left( x \right) =\int _{ -\infty }^{ x }{ { f }_{ X }\left( t \right) dt }  

    +
  • I detta fall är tt  värdet på den stokastiska variabeln XX  och xx  den övre gräns på integralen. Detta kan då illustreras som

    +
  • Sannolikheten P(X ≤ x) blir en integral med x som övre gräns
    +

Did it help you? Click to say "thanks" to the author!

Next lesson: Sannolikhetsfördelningar

Want to create your own course on Ludu?

Back to lesson