Lesson 4

Diskreta sannolikhetsfördelningar

46

Alla sannolikhetsbaserade situationer är inte ideella tärningskast där alla utfall har samma sannolikhet att uppstå. Av denna anledning är det viktigt att prata om vilken typ av sannolikhetsfördelning ett specifikt problem tillhör. En del sannolikhetsfördelningar förekommer oftare i vardagen än andra medan andra för det mer sällan. Dessa fördelningar har olika typer av fria parametrar som gör att fördelningarna kan appliceras i olika sammanhang. Av denna anledning är det viktigt att känna till vilka fördelningar som finns och vad deras parametrar står för att kunna veta vilken fördelning som passar problemet bäst.

Diskreta fördelningar


Tvåpunktsfördelning


Sannolikheten är fördelad i två utfall. Om ena utfallet har sannolikheten pp så måste det andra utfallet ha sannolikheten 1p1-p .


Ett klassiskt exempel på en tvåpunktsfördelning är att singla slant under ideella förhållanden.



Likformig fördelning


I den diskreta likformiga sannolikhetsfördelningen är sannolikheten inte beroende av utfallsvärdet. Detta gör sannolikheten konstant och densamma för alla utfallsvärden. Den likformiga fördelningen finns även i en kontinuerlig form.


Sannolikhetsfunktionen ges av:



pX(x)=1m,x=1,2,3,,m{p}_{X}(x)=\frac{1}{m},\quad x=1,2,3,\dots ,m



Exercise

Om vi förutsätter ideella förhållanden för ett tärningskast med en vanlig tärning. Låt värdet på tärningen vara den stokastiska variabeln XX . Vad är sannolikheten att vi får tärningen visar 44 ?

Solution

Vi vet att värdet xx på en tärning under ideella förhållanden tillhör den likformiga sannolikhetsfördelningen. Detta gör att dess sannolikhetsfunktion är pX(x)=16{p}_{X}(x)=\frac {1}{6} som ger P(X=x)=16P(X=x)=\frac{1}{6} oavsett värdet på utfallet



För-första-gången fördelning: Xffg(p)X\in \text{ffg}\left( p \right)


ffg-fördelningen används när man vill utföra stickprov där sannolikheten att det gynnsamma utfallet inträffar per stickprov är pp och antalet stickprov som ska utföras till och med att det första gynnsamma fallet inträffar är xx .


Sannolikhetsfunktionen ges av:



pX(x)=p(1p)x1,x=1,2,3,{p}_{X}(x)=p{(1-p)}^{x-1}, \quad x=1,2,3,\dots



x=x= antal gånger stickprovet ska dras tills tom det gynnsama utfallet inträffat.

p=p= sannolikhet att gynnsamt utfall inträffar per stickprov.


Inbyggda funktioner i grafräknaren: geometpdf\text{geometpdf} och geometcdf\text{geometcdf} .


Exercise

Ett företag äger flera fabriker som producerar bilar. I sannolikheten att en bil har någon form av defekt är 0.010.01 . Vad är sannolikheten att bil nummer 127127 av dagens produktion är den första defekta bilen den dagen?

Solution

Lösning genom beräkning


Vi vet att bil nummer 127127 är den första bilen i dagsproduktionen som är defekt som ger x=127x=127 och sannolikheten för att varje bil är defekt är p=0.01p=0.01 . Detta ger:



pX(127)=P(X=127)=0.01(10.01)1271=0.00282{ p }_{ X }(127)=P(X=127)=0.01*{ (1-0.01) }^{ 127-1 }=0.00282



Lösning med grafräknare


pX(127)=P(X=127)=geometpdf(0.01,127)=0.00282{ p }_{ X }(127)=P\left( X=127 \right) =\text{geometpdf}\left( 0.01,127 \right) =0.00282




Binomialfördelning: XBin(n,p)X\in \text{Bin}\left( n,p \right)


Binomialfördelningen används vid oberoende upprepningar där nn antalet stickprov och xx är antalet gynnsamma fall av dessa stickprov och sannolikheten att det gynnsamma utfallet inträffar är en exakt given sannolikhet pp per stickprov. Vidare ska resultatet från stickprovet enbart finnas i två tillstånd, t.ex. defekt eller felfri.


Sannolikhetsfunktionen ges av:



pX(x)=(nx)px(1p)nx,x=0,1,2,,n{p}_{X}(x)=\begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix}{p}^{x}{(1-p)}^{n-x}, \quad x=0,1,2,\dots,n


nn = antalet försök

xx = antalet gynnsamma utfall vid oberoende upprepning

pp = sannolikheten för gynnsamt utfall per försök.


Inbyggda funktioner i grafräknaren: binompdf\text{binompdf} och binomcdf\text{binomcdf} .


Exercise

Ett antal produkter paketeras i 2020 -pack i en fabrik där sannolikheten att en produkt är defekt motsvarar 0.10.1 , vad är sannolikheten att ett paket innehåller två defekta enheter?

Solution

Lösning genom beräkning


XBin(20,0.1),x=2X\in \text{Bin}(20,0.1),\quad x=2 fel ger


pX(2)=P(X=2)=(202)0.12(10.1)202=0.285{ p }_{ X }(2)=P(X=2)=\begin{pmatrix} 20 \\ 2 \end{pmatrix}{ 0.1 }^{ 2 }{ (1-0.1) }^{ 20-2 }=0.285


Lösning med miniräknare


XBin(20,0.1)X\in \text{Bin}(20,0.1) beräknas P(X=2)P\left( X=2 \right) med grafräknare genom


pX(2)=P(X=2)=binompdf(20,0.1,2)=0.285{ p }_{ X }(2)=P\left( X=2 \right) =\text{binompdf}\left( 20,0.1,2 \right) =0.285




Poissonfördelning: XPo(μ)X\in \text{Po}(\mu)


Poissonfördelningen används då en form av genomsnittlig upprepningshastighet μ\mu av en händelse som inträffar där xx är hur många gånger den händelsen inträffar.


Sannolikhetsfunktionen ges av:



pX(x)=μxx!eμ,x=0,1,2,{ p }_{ X }(x)=\frac { { \mu }^{ x } }{ x! } { e }^{ -\mu }, \quad x=0,1,2,\dots



μ\mu = genomsnittlig upprepningshastighet av en händelse.

xx = antal gånger händelsen inträffar under en och samma situation.


Inbyggda funktioner i grafräknaren: poissonpdf\text{poissonpdf} och poissoncdf\text{poissoncdf} .


Exercise

En skribent gör i genomsnitt 22 fel per sida. Vad är sannolikheten att skribenten skriver en hel sida utan fel?

Solution

Lösning genom beräkning


XPo(2),x=0X\in \text{Po}\left( 2 \right) ,\quad x=0 fel per sida ger:


pX(0)=P(X=0)=200!e2=0.1353{ p }_{ X }(0)=P(X=0)=\frac { { 2 }^{ 0 } }{ 0! } { e }^{ -2 }=0.1353


Lösning med grafräknare


pX(0)=P(X=0)=poissonpdf(2,0)=0.1353{ p }_{ X }(0)=P\left( X=0 \right) =\text{poissonpdf}\left( 2,0 \right) =0.1353


Comments

Martin Lindberg

På nyare tentor förekommer ofta den hypergeometriska fördelningen Hyp(N,n,p). Det kan vara värt att skriva ett stycke om den också här på Ludu!

Ariel Blomqvist Rova

Fett bra med genomgång av räknarfunktionerna. Sist utnyttjade jag INTE att jag kunde verifiera många av mina svar on the spot och konsekvensen var förödande.

Christian Abdelmassih

Yeah, det går väldigt hand i hand i den här kursen även om man bör kunna räkna ut saker och ting för hand.

Thomas Peterson

Hej, om man ritar denna funktionen i grafräknaren är den avtagande. Varför säger man då att den är ökande?

Christian Abdelmassih

@thomaspeterson I exponentialfördelningen ökar sannolikheten väldigt snabbt i värde då täthetsfunktionen minsksar exponentiellt. Jag håller med om att det inte är rätt skrivet och rättar det med detsamma 😊 För att ge en förklaring så har det att göra med att arean under fördelningsfunktionen borde uppnå 50% 50 \, \% ganska snabbt beroende vad λ\lambda är men troligen inom de första tidsenheterna.

Erik Dahlström

Hej! Jag förstår inte var E99 kommer ifrån. Kan någon förklara?

Christian Abdelmassih

Tjena! E99 motsvarar miniräknarens oändlighet!

profile/avatar/default
JAB

Jättebra att du går igenom miniräknaren och hur man skriver till den!

Linnéa Ödborn Jönsson

Varför beskrivs det som t.ex. "x är större än eller är lika med", när det står i uppgiften att det enbart ska vara "x större än"?

Christian Abdelmassih

@linna-odborn-jonsson: Det har att göra med att detta är en kontinuerlig fördelning. I och med att arean under en punkt är 0 så spelar det ingen roll om man använder lika med eller större eller enbart lika med. Svaret blir detsamma :)