Lesson 1

Storheter & Dimensionsanalys

10

Storheter - "Units"

I mekaniken arbetar man med tre grundläggande storheter: Massa, Tid och Läge (även kallad längd eller stäcka).



Tack vare dessa 3 storheter kan härledas näst intill alla andra, som till exempel de nedan.



Nu kanske det här får er att gäspa, men tänk en stund på vad detta innebär. Det räcker alltså med tre grundstorheter för att uttrycka alla storheter vi använder i mekaniken!


Anledningen till att det är så ligger i fysikens grundlagar, men låt oss fokusera på vad vi har för användning utav detta. Vi kan nämligen alltid kontrollera om våra beräkningar är rätt uttänkta, och om vi valt rätt enheter. Detta gör vi genom att titta på om vi använd Massa, Tid och Längd i rätt kombination. På engelska heter denna kontroll:

"Dimensional Analysis" - Dimensionsanalys

I gymnasiet brukade man skriva att hastighet=stra¨ckatidhastighet=\frac { sträcka }{ tid } . Numera, när vi pratar om storheter, kommer vi använda [klamrar]. En dimensionsanalys av hastighet ger alltså:

[hastighet]=[L][T]\left[ hastighet \right] =\frac { \left[ L \right] }{ \left[ T \right] }

med andra ord, LT1LT^{-1} , precis som ovan.


En dimensions analys av acceleration ger:


[acceleration]=[hastighet][tid]=[la¨ngd][tid][tid]=[la¨ngd][tid]2[acceleration]=\frac { [hastighet] }{ [tid] } =\frac { \frac { [längd] }{ [tid] } }{ [tid] }=\frac { [längd] }{ [tid]^2 }

vilket ger oss LT2LT^{-2} . Ni förstår nog principen.


Utöver att kontroll av beräkningar kan vi dessutom med hjälp av dimensionsanalys kontrollera att påståenden är sanna. Till exempel:

Två objekt faller precis lika snabbt om de faller från samma höjd och friktionen är försumbar. Oavsett massa.

För att se om detta stämmer antar vi först att tiden det tar för nåt att falla är proportionerlig till höjden den släpps ifrån, dess massa och gravitationskraften. Denna proportionalitet kan vi sammanfatta kort och gott med:


thxmygzt\quad \propto \quad h^{ x }\quad m^{ y }\quad g^{ z }


Detta läser man som " tiden är proportionerlig till höjden upphöjt till ett tal xx, massan till ett tal yy , och gravitationskraften till ett tal zz"


" \propto " är en symbol som man läser som "proportionerlig till". Det är alltså INTE samma symbol som bokstaven alpha:


α\propto \quad \alpha


Ser ni skillnaden :P?


Hur som helst, låt oss då dubbelkolla det här, genom att göra en dimensionsanalys:


Vi börjar först med att komma ihåg att gravitationen uttrycks i m/s2m/s^2


Alltså kan skriva om vårat antagande som:


[T]=[L]x[M]y([L][T]2)z\left[ T \right] =\left[ L \right] ^{ x }\left[ M \right] ^{ y }\left( \frac { \left[ L \right] }{ \left[ T \right] ^{ 2 } } \right) ^{ z }


Nu handskas vi enbart med enheter. För att denna ekvation skall gälla måste vänsterledet vara lika med högerledet. Men ni kanske har märkt att det bara står ett [T][T] i högerledet. Jo vi måste alltså hitta xx, och [M][M] försvinner från vänsterledet. För att se det här enklare skriver vi om ekvationen på en enda rad, som så:


[T]=[L]x[L]z[M]y1[T]2z=[L]x[L]z[M]y[T]2z\left[ T \right] =\left[ L \right] ^{ x }\left[ L \right] ^{ z }\left[ M \right] ^{ y }\frac { 1 }{ \left[ T \right] ^{ 2z } } =\left[ L \right] ^{ x }\left[ L \right] ^{ z }\left[ M \right] ^{ y }\left[ T \right] ^{ -2z }




Om ni kommer ihåg log- och potenslagarna vet ni att detta blir:


[L]x+z[M]y[T]2z\left[ L \right] ^{ x+z }\left[ M \right] ^{ y }\left[ T \right] ^{ -2z }


För att alla [L][L] och [M][M] ska försvinna måste alltså undefinedundefined, undefinedundefined. För att det dessutom bara ska vara [T][T] måste också: 2z=1-2z=1.


Detta gör att vi får:


z=12,x=12ochy=0z=-\frac { 1 }{ 2 } ,\quad x=\frac { 1 }{ 2 } \quad och\quad y=0



Om vi nu använder dessa värden på de okända så får vi den här formeln från det ursprungliga antagandet.


t=Ch12m0g12t=C\cdot h^{ \frac { 1 }{ 2 } }\cdot m^{ 0 }\cdot g^{ -\frac { 1 }{ 2 } }


C är endast en konstant. Vi har alltså enbart med dimensionsanalys härlett att tiden det tar för ett objekt att ramla ner i marken är:


t=Chgt=C\cdot \frac { \sqrt { h } }{ \sqrt { g } }


Som ni kanske märkt finns ingen massa i denna formel, och vi har alltså bevisat att tiden det tar för ett objekt att falla är OBEROENDE av dess massa!


Om ni vill kan ni kika på en av Walter Lewins föreläsningar, där han pratar om just detta (speciellt från min 22:06):

Comments

Leonard Pauli

Videon har blivit markerad privat, finns den att hitta någon annan stans?

Pierre Lindgren

@LeonardPauli: Hittade precis Walter Lewins egna channel! Så videon är nu uppe igen :D

Eli Ratvag

Jag ser att det står "undefined, undefined" på andra raden här, det är nog fel?

Pierre Lindgren

Ja precis, det ska stå x+z=0 och y=0