Lesson 5

Sambandsformeln för kraftmoment

7

Byte av momentpunkt

När vi väl har jobbat ett tag med att förenkla ett system, kanske vi kommer på att det är nödvändigt att byta momentpunkt. Om vi nu fått reda på det totala momentet i en punkt kan det bli väldigt jobbigt att räkna om detta. Därför har man tagit fram en formel för att göra detta mycket enklare.


Antag att vi har ett system som ser ut så här:



Detta var väl grötigt...Låt oss då säga att någon har varit ambitiös och spenderat tonvis med tid för att förenkla detta till:



Imponerande!...Men vad gör vi nu om det visar sig ha varit en annan momentpunkt vi var ute efter? Ber vi hen göra om allt detta jobbiga arbete? Vi kan väl försöka undvika att ge ett sånt hemskt besked och göra lite arbete själva.


I detta resultantsystem har vi då ett moment MO\vec { M_O } som orsakas av summan av alla dessa krafter. Vi måste ta hänsyn till att alla dessa krafter har varsin angreppspunkt, alltså börjar vi med att beskriva detta system som {rj,Fj}\left\{ \vec { r_{ j } } ,\vec { F_{ j } } \right\} , där j=1,2,3,...,Nj=1,2,3,...,N.


Vi kan alltså säga att MO=r1×F1+r2×F2+r3×F3+...rN×FN\vec { M_{ O } } =\vec { r_{ 1 } } \times \vec { F_{ 1 } } +\vec { r_{ 2 } } \times \vec { F_{ 2 } } +\vec { r_{ 3 } } \times \vec { F_{ 3 } } +...\vec { r_{ N } } \times \vec { F_{ N } } ,


vilket vi kan förkorta till


MO=j=1N(rj×Fj)\vec { M_{ O } } =\sum _{ j=1 }^{ N }{ (\vec { r_{ j } } \times \vec { F_{ j } } ) }




Bra då har vi nu ett uttryck för momentet i O. Nu vill vi räkna ut momentet i en punkt P. För detta behöver vi alla vektorer som går från P till krafternas angreppspunkt, med andra ord alla rPj=rjrP\vec { r_{ Pj } } =\vec { r_{ j } } -\vec { r_{ P } } .


Vi får då att


MP=j=1N(rjrP)×Fj\vec { M_{ P } } =\sum _{ j=1 }^{ N }{ (\vec { r_{ j } } -\vec { r_{ P } } )\times \vec { F_{ j } } }


Men detta är väl inte mycket enklare? Vi skulle ju fortfarande behöva räkna ut alla dessa rPj\vec { r_{ Pj } } vektorer. Låt oss ta detta ett steg längre. Se här på skillnaden:


MOMP=j=1N(rj×Fj)j=1N(rjrP)×Fj\vec { M_{ O } } -\vec { M_{ P } } =\sum _{ j=1 }^{ N }{ (\vec { r_{ j } } \times \vec { F_{ j } } ) } -\sum _{ j=1 }^{ N }{ (\vec { r_{ j } } -\vec { r_{ P } } )\times \vec { F_{ j } } }



MOMP=j=1N(rjrj+rP)×Fj\vec { M_{ O } } -\vec { M_{ P } } =\sum _{ j=1 }^{ N }{ (\vec { r_{ j } } -\vec { r_{ j } } +\vec { r_{ P } } )\times \vec { F_{ j } } }



MOMP=j=1NrP×Fj\vec { M_{ O } } -\vec { M_{ P } } =\sum _{ j=1 }^{ N }{ \vec { r_{ P } } \times \vec { F_{ j } } }



MOMP=j=1NrP×Fj=rP×j=1NFj=rP×F\vec { M_{ O } } -\vec { M_{ P } } =\sum _{ j=1 }^{ N }{ \vec { r_{ P } } \times \vec { F_{ j } } } =\vec { r_{ P } } \times \sum _{ j=1 }^{ N }{ \vec { F_{ j } } } =\vec { r_{ P } } \times \vec { F }


Vilket slutligen ger oss sambandsformeln:


MO=MP+rP×F\vec { M_{ O } } =\vec { M_{ P } } +\vec { r_{ P } } \times \vec { F }


Notera att rP=rOP\vec { r_{ P } } =\vec { r_{ OP } } , alltså kan denna formel appliceras för vilka två punkter som helst.


Detta gör att om vi redan känner till ett kraftmoment i en punkt, kan vi enkelt räkna ut det i en annan, utan att gå igenom en summa av enskilda momentberäkningar.

Comments

icon

Be the first to comment!