Lesson 4

Kraftsystem - Analys och Förenkling

5

I verkligheten förekommer det väldigt många olika krafter i alla situationer. Men de flesta situationerna går att förenkla. Krafter kan summeras ihop, för att antingen skapa en enda sammanfattande vektor, eller kanske för att ta ut varandra (man pratar då om jämvikt).


Som vi sagt i tidigare kapitel får man dock inte glömma vridning. Kraftpar som appliceras i olika angreppspunkter kan också förenklas till ett kraftmoment i en momentpunkt.

Kraftpar och deras moment



I detta fall har vi förenklat kraftparet till ett kraftmoment i lådans masscentrum, G. Om vi benämner angreppspunkterna för F\vec{F} och F-\vec { F } för r1\vec { r_{ 1 } } respektive r2\vec { r_{ 2 } } , så kan vi räkna ut vridningen som orsakas av detta kraftpar. För att göra saker enkla för oss ansätter vi att 'origo' sitter i punkten G. Detta gör att vektorn från G till angreppspunkten helt enkelt har samma koordinater som angreppspunkten själv!


Vi applicerar nu formeln och får att vridningsmomentet som orsakas av F\vec { F } och F-\vec { F } är r1×F\vec { r_{ 1 } } \times \vec { F } respektive r2×(F)=(r2)×F\vec { r_{ 2 } } \times (-\vec { F } )=(-\vec { r_{ 2 } } )\times \vec { F } .


Vi finner då till slut att:


MG=r1×F+(r2)×F\vec { M_{ G } } =\vec { r_{ 1 } } \times \vec { F } +(-\vec { r_{ 2 } } )\times \vec { F }



MG=(r1r2)×F\vec { M_{ G } } =(\vec { r_{ 1 } } -\vec { r_{ 2 } } )\times \vec { F }


Om vi nu försöker söka oss till vridningsmomentet i en annan godtycklig punkt P, får vi att rP1=r1rP\vec { r_{ P1 } } =\vec { r_{ 1 } } -\vec { r_{ P } } och rP2=r2rP\vec { r_{ P2 } } =\vec { r_{ 2 } } -\vec { r_{ P } } . Om vi nu stoppar in detta i vår formel får vi:


MP=rP1×F+(rP2)×F\vec { M_{ P } } =\vec { r_{ P1 } } \times \vec { F } +(-\vec { r_{ P2 } } )\times \vec { F }



MP=(r1rP)×F+((r2rP))×F\vec { M_{ P } } =(\vec { r_{ 1 } } -\vec { r_{ P } } )\times \vec { F } +(-(\vec { r_{ 2 } } -\vec { r_{ P } } ))\times \vec { F }



MP=(r1r2rP+rP)×F\vec { M_{ P } } =(\vec { r_{ 1 } } -\vec { r_{ 2 } } -\vec { r_{ P } } +\vec { r_{ P } } )\times \vec { F }



MP=(r1r2)×F=MG\vec { M_{ P } } =(\vec { r_{ 1 } } -\vec { r_{ 2 } } )\times \vec { F } =\vec { M_{ G } }



Från detta kanske ni redan märker att oändligt många kraftpar kan orsaka samma moment. Enklast är att komma ihåg denna formel:M=dF\left| \vec { M } \right| = dF , där dd är längden mellan kraftparets verkningslinjer. Detta moment brukar man ofta skriva storleken på i samband med en ansatt positiv riktning, som så


dFellerdF\circlearrowleft \quad dF\quad eller\quad \circlearrowright \quad -dF


Summering av krafter - Kraftresultant

Man vill oftast förenkla kraftsystem man har att jobba med så mycket som möjligt. Detta gör man genom att summera ihop dessa krafter för att åstadkomma en förenkling. När det gäller skilda krafter, alltså krafter som inte kommer i par, kan dessa "förvandlas" till en enda vektor, i en lämplig punkt. När det handlar om ett jämviktsproblem är denna vektor nollvektorn 0\vec 0 . Men om objektet är i rörelse kan alltså detta sammanfattas som så:



Med en totalkraft.

Enkelt va?

Som ni kan se kan man alltså förenkla alla kraftsystem till en ensam kraft och ett ensamt kraftpar/vridning i en vald punkt P. Man finner då en så kallad resultant, en kombination av de här sist nämnda tingen.



Då man letar efter en resultant vill man försäkra sig om att resultantsystemet man då skapar är ekvimoment med det ursprungliga, med andra ord att deras kraftmoment är lika, vilket momentpunkt man än väljer.


I många frågeställningar söker man dock en enkraftsresultant, en kraft som sammanfattar hela systemets krafter, inklusive vridningar. Detta görs oftast genom lämpligt val av momentpunkt, men det är inte alltid möjligt.


I det föregående fallet kanske ni märker att det går, på detta vis:



Se där! Den blå kraften är nu 4 "steg" från origo. Enligt det vi lärde oss innan betyder detta att den orsakar en vridning som är lika med dFdF . I detta fall har vi då att den blåa kraften orsakar en vridning medurs med styrka 42F4\cdot 2F . Detta är precis samma som den gröna vridningen.


I denna position har vi alltså en så kallad enkraftsresultant. Vridningen "innefattas" i en enda kraftvektor tack vare dess lägliga positionering.

Comments

icon

Be the first to comment!