Lesson 9

Arbete

4

Kraft Arbete

En krafts arbete (WW, som "work") kan vissa gånger verka som ett luddigt begrepp. Om man skulle gissa på vad det var för något skulle det kunna vara hur mycket en kraft "anstränger" sig när den agerar. Om man bara pratar i talspråk kan väl detta verka rimligt. Någonting lite mer nära verkligheten skulle vara att arbetet är hur mycket kraften "hjälper till" sig under en partikels förflyttning.


Hur en krafts arbete beräknas är dock inte en vacker syn i första hand. Formeln ser nämligen ut som så:


W=CFdrW=\int _{ C }^{ }{ \vec { F } \cdot d\vec { r } }


Många har nog inte stött på de små detaljerna som man måste se i denna formel förut. Den behandlar detta allmänna fall:



C\int _{ C }^{ }{ } tecknet är en så kallad linje-integral. Det är summan av någonting längs en linje/kurva. Titta även noga på vad som står efter integraltecknet: Fdr\vec { F } \cdot d\vec { r }


Det ser ut som en skalärprodukt. Men av vad exakt? Jo denna skalärprodukt är F\vec { F } :s arbete vid ett specifikt läge på denna kurva.


Ok det där gjorde nog inte saken mycket enklare?!

Att en krafts arbete under en rörelse är summan av dess arbeten i varje läge klarnar nog inte upp så mycket.


Men om jag nu gjorde den här omskrivningen:


Fdr=Fdrdtdt=Fvdt\vec { F } \cdot d\vec { r } =\vec { F } \cdot \frac { d\vec { r } }{ dt } dt=\vec { F } \cdot \vec { v } dt


Några invändningar? Titta vad man ser nu! \partial r inte det där väldigt likt kraftens effekt? En krafts momentana arbete som sker under ett tidsögonblick dtdt är nämligen lika med dess effekt under ögonblicket dtdt . (Läs gärna om den här meningen långsamt).


På ekvationsform får vi helt enkelt:


Fdr=Pdt\vec { F } \cdot d\vec { r } =Pdt


Vår ursprungliga formel blir då:


W01=t0t1PdtW_{ 0-1 }=\int _{ t_{ 0 } }^{ t_{ 1 } }{ Pdt }


där rörelsen börjar och slutar vid ögonblicket t0t_0 respektive t1t_1.


Såja, nu blev det enklare. En krafts arbete under en förflyttning är alltså integralen av dess effekt med avseende på tiden. Som ni kan se talar man om ett arbete under ett visst tidsintervall, därmed brukar man även namnge arbetet med avseende på dess start och sluttid (som i U01U_{0-1}).

För att låta det här sjunka in

Det vi kommit fram till när vi beräknat arbetet är alltså hur mycket den har "hjälpt till" i förflyttningen, med andra ord hur den mot-/medverkat hastigheten under rörelsen.


Ett enkelt exempel på detta är om man tar upp en resväska, och sen ställer ner den.


Om vi ser på tyngdkraften: då vi lyfter resväskan motverkar den rörelsen. Dess arbete är då negativt. När vi ställer ner väskan är dess arbete positivt.


Om vi ser på vår armens lyftkraft: då vi lyfter resväskan hjälper lyftkraften till i rörelsen. Dess arbete är därför positivt. På vägen tillbaka till marken motverkar lyftkraften nedgången. Dess arbete är då negativt.


En intressant sak att påpeka är om vi skulle lyfta upp resväskan och hålla den stilla. Då den är stilla sker ingen rörelse. Alltså förekommer inte heller något arbete: tyngdkraften och lyftkraften må ha en verkan på väskan, men ingen av de har någon effekt på en rörelse.

Enklare fall

Allt detta kan verka otroligt jobbigt att lära sig. Ni kommer dock antagligen att träffa på speciella fall i övningar och uppgifter. Fall vars egenskaper gör beräkningen mycket enklare.


Till exempel, om kraftenF\vec { F } alltid är parallell med rörelsen så blir skalären helt enkelt: Fdr=Fdrcos0=Fds\vec { F } \cdot d\vec { r } =F\cdot dr\cdot \cos 0=F\cdot ds


I detta fall är vi alltså endast intresserade av kraftens storlek FF, som vi kommer att integrera med avseende på sträckan ss. Detta medför att integralen blir


W=CFdr=bo¨rjanslutFdsW=\int _{ C }^{ }{ \vec { F } \cdot d\vec { r } } =\int _{ början }^{ slut }{ Fds }


Om F\vec F:s storlek dessutom är konstant får vi till slut:


W=Fbo¨rjanslut1ds=FsW=F\int _{ början }^{ slut }{ 1ds } =Fs


Där ss är sträckans längd.

Kraftens arbete vid ett läge i rörelsen är alltså lika med dess effekt vid det ögonblicket.

Comments

icon

Be the first to comment!