Lesson 1

Skalärer, punkter och vektorer

106

I början av den här kursen kommer det finnas många begrepp att hålla reda på. Detta används för att särskilja olika egenskaper som vi tidigare inte stött på.


Bortsett från detta skiljer sig denna kurs radikalt från gymnasiematten. Detta gör att väldigt stora delar av kursen omfattar områden som inte har berörts tidigare. Här delas allt in i skalärer, punkter, vektorer och matriser.

Skalärer

De reella tal som vi är vana vid att räkna med kallas för skalärer i denna kurs. Detta är för att skalärer enbart markerar en storhet. Eftersom vi behandlat skalärer sedan vi lärde oss räkna är detta inget nytt.

Punkter

En punkt är något som definieras av sin position genom koordinater (som i sin tur är två eller fler skalärer). Punkter kan skrivas både horisontellt och vertikalt, exempel på en punkt: P=(1,2)=[12]P=\left( 1,2 \right) =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right]

Vektorer

En vektor betecknas v\vec { v } där vv är vektorns namn och definieras av sin norm (vektorns längd) och sin riktning. Eftersom vektorer inte definieras av en position är två parallella vektorer med samma längd samma vektor. Exempel på en vektor:


v=(1,2)=[12]\vec { v } =\left( 1,2 \right) =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right]


För att kunna skilja mellan punkter och vektorer är det viktigt att läsa sig till sammanhanget där informationen ges.


Förutom detta är även vektorer bundna till en dimension som kan avläsas genom antalet rader vektorn har. Detta ger att v=(2,4)\vec { v } =(2, 4 ) är definierad i R2{R}^{2} (xy-planet) medan u=(2,4,6)\vec { u } =(2, 4, 6 ) är definierad i R3{R}^{3} (xyz-rummet). Två vektorer som är definierade för olika dimensioner kan därför inte ritas in i samma koordinatsystem.


Norm


Normen för en vektor betecknas v\left\| \vec { v } \right\| och beräknas genom formeln


Omv=[abc],da˚v=a2+b2+c2 \text{Om} \, \vec{v}=\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right], \text{då} \,\left\| \vec { v } \right\| =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }


Riktning i relation till norm


Säg att vi har vektorerna a=(1,1)\vec{a}=(1,1) och b=(2,2)\vec{b}=(2,2) , då har båda vektorerna samma riktning men olik längd.

Skillnad mellan punkter och vektorer

Relationen mellan vektor och punkter är olika i olika sammanhang men genom denna kurs kommer använda oss av ett enda påstående: Det behövs två punkter för att skapa en vektor.


Säg att vi har två punkter givna, AA och BB samt att vi vill skapa en vektor mellan dessa, då kan vi skapa vektorn från AA till BB som kommer betecknas AB\vec { AB } så att


AB=BA=[B1B2][A1A2]\vec { AB } =B-A=\left[ \begin{matrix} { B }_{ 1 } \\ { B }_{ 2 } \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} { A }_{ 1 } \\ { A }_{ 2 } \end{matrix} \right]


Övning

Vi har punkterna


P1=(5,4),P2=(3,7){P}_{1}=(5,4), \quad {P}_{2}=(3,7)


Skapa en vektor mellan punkterna.

Lösning

Vi skapar vektorn P1P2\vec{{P}_{1}{P}_{2}} där


P1P2=P2P1=[37][54]=[23]\vec{{P}_{1}{P}_{2}}={P}_{2}-{P}_{1}=\left[ \begin{matrix} 3 \\ 7 \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \end{matrix} \right]


Detta ger oss vektorn P1P2=[23]\vec{{P}_{1}{P}_{2}}=\left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \end{matrix} \right] .

Nollvektorn

Denna vektor har väldigt speciella egenskaper då den saknar längd och vinkelrät mot alla andra vektorer. Av denna anledning är det ganska svårt att rita ut nollvektorn i ett kordinatsystem som gör att nollvektorn förekommer främst i beräkningar.


Nollvektorn skrivs 0=[000]\vec { 0 } =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] om dimensionen är 33 och 0=[00]\vec { 0 } =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right] om dimensionen är 22 .

Comments

icon

Be the first to comment!