Lesson 11

Inversmatrisen

36

Inversen av en matris

Om vi har ett tal aa så kan dess invers betecknas a1{a}^{-1} . Om vi multiplicerar dessa kommer resultatet bli aa1=1a*{a}^{-1}=1 .


Samma sak som gäller för inverser av tal gäller även för matriser och dess inverser bortsett från en sak. Om vi har en matris AA och dess invers A1{A}^{-1} kommer multiplikationen av dessa att bli AA1=IA*{A}^{-1}=I , det vill säga identitetsmatrisen istället för 11 .


Men det är inte alla matriser som har inverser. För att vara helt säker på att AA har en invers behöver man kontrollera att kolumnerna i AA är linjärt oberoende. Ett vanligt sätt att kontrollera detta är att beräkna determinanten det(A)\text{det}(A) och kontrollera det den är skild från noll så att det(A)eq0\text{det}(A) eq 0 .


För att beräkna inversmatrisen ska vi därmed skapa en totalmatris med AA som vänsterled och identitetsmatrisen som högerled. Målet är att använda Gauss-Elemination så att identitetsmatrisen hamnar i vänsterledet. Den matris som så är i högerledet är då A1{A}^{-1} . Se gärna exemplet nedan.

Exercise

Vi har matrisen AA , beräkna dess invers förutsatt att determinanten är nollskiljd


A=[2401]A=\left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]


Solution

Vi sätter in AA i vänsterledet och identitetsmatrisen i högerledet av en totalmatris så att vi får


[24011001]\left[ \left. \begin{matrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]


och påbörjar därefter Gauss Eliminationen. Målet är att få en identitetsmatris i vänsterledet.


[24011001]12\left[ \left. \begin{matrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } \\ \end{matrix}


[120112001]2R2\left[ \left. \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \begin{matrix} -2{ R }_{ 2 } \\ \end{matrix}


[100112201]\left[ \left. \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & -2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]


Vi har nu fått identitetsmatrisen i vänsterledet. Den matris vi nu har i högerledet är därmed vår inversmatris.


A1=[12201]{A}^{-1}=\begin{bmatrix} \frac { 1 }{ 2 } & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}



Comments

Emilia

Förstår inte hur du gör med -2R2

profile/avatar/default
Ragda Kalifa

Vad är identitetsmatrisen? :O

Christian Abdelmassih

@ragda-kalifa Identitetsmatrisen är en matris med ettor längs diagonalen som går från övre vänstra hörnet till nedre högra hörnet och har nollor överallt annars. Man kan säga att denna typ av matris är motsvarigheten till 1 i matrisform.

profile/avatar/default
Ragda Kalifa

@christianabdelmassih: okej, tack! :)