Termisk utvidgning - Hållfasthetslära | Ludu

Termisk utvidgning

by Pierre Lindgren Pierre Lindgren

2 thanks

  • Material har en tendens att ändra proportioner med temperaturen. För att sammanfatta deras benägenhet till detta har man en så kallad termisk längdutvidningskoefficient α\alpha . Det är nämligen så att ett materials axiella förlängning i själva verket följer ekvationen: δ=(σE+αΔT)L\delta=(\frac\sigma E+\alpha\Delta T)L . Den ekvationen har vi fått från axiella töjningens ekvation vid temperaturändring, som ser ut som så: ε=σE+αΔT\varepsilon=\frac\sigma E+\alpha\Delta T .
    Som tidigare ska vi tillämpa det här direkt på en vanlig uppgit.

    +
  • Exercise

    +
  • Två stänger är monterade som i figuren nedan:

    +
  • +
  • De har båda samma tvärsnitt, med dimensionerna a×aa \times a . De har dock olika längd, E-modul och α\alpha . Vi ska bestämma vilken temperaturhöjning ΔT\Delta T som orsakar knäckning.

    +
  • +
  • Solution

    +
  • Jämvikt

    +
  • I första hand kan vi konstatera att samma normalkraft går igenom balkarna, och således att N1=N2N_1=N_2 vilket i sin tur leder till att samma spänning erhålls i de: σ1=σ2\sigma_1=\sigma_2 vi slår därför ihop dessa variabler till en spänning σ\sigma . 

    +
  • Material- och Geometriska egenskaper

    +
  • Utöver jämvikten ovan kan vi etablera flera samband, nämligen: E2=2E1=2EE_2=2E_1=2E , L2=2L1=2LL_2=2L_1=2L och α2=2α1=2α\alpha_2=2\alpha_1=2\alpha . Balkens tvärsnittsegenskaper kan även beräknas vara: A=a2A=a^2 och I=a412I=\frac{a^4}{12} 

    +
  • Kompatibilitet

    +
  • Eftersom balkarna är låsta mellan två väggar kan deras totalalängd inte förändras. Hur de än förlängs eller förkortas måste alltså δ1+δ2=0\delta_1+\delta_2=0 .

    +
  • Om vi nu applicerar det konstitutiva sambandet som lyder δi=(σiEi+αiΔT)Li\delta_i=(\frac{\sigma_i}{E_i}+\alpha_i\Delta T)L_i så får vi alltså:

    +
  • δ1+δ2=(σE+αΔT)L+(σ2E+2αΔT)2L=0\delta_1+\delta_2=(\frac{\sigma}{E}+\alpha\Delta T)L+(\frac{\sigma}{2E}+2\alpha\Delta T)2L=0 

    +
  • Från detta kan man till slut få ut σ=52EαΔT\sigma=-\frac{5}{2}E\alpha\Delta T .

    +
  • Kraften P fås då till: P=σA=52EαΔTa2P=\sigma \cdot A=\frac{5}{2}E\alpha \Delta Ta^2 

    +
  • Knäckfall

    +
  • Vi konstaterar nu att balkarna egentligen är upphängda på olika sätt. Detta gör att deras knäckfallsformler blir annorlunda. Dessa finner ni i er formelsamling, eller också här. Vi har nämligen att den vänstra balken följer Eulers knäckfall 2, och dess ekvation är alltså Pc1=π2EIL2P_{c1}=\frac{\pi^2EI}{L^2} . Den högra biten följer Eulers knäckfall 3, vilket ger Pc2=2.05π22EI(2L)2=1.025Pc1P_{c2}=\frac{2.05\pi^22EI}{(2L)^2}=1.025P_{c1} . Eftersom Pc1P_{c1} är lägsta gränsen är den dimensionerande, och det är därför bara den vi behöver räkna på.

    +
  • Vi får då att:

    +
  • Pc1=π2EIL2=52EαΔTa2ΔTc=π2a230L2αP_{c1}=\frac{\pi^2EI}{L^2}=\frac52E\alpha\Delta Ta^2\Rightarrow \Delta T_c=\frac{\pi^2a^2}{30L^2\alpha} 

    +
  • Största tillåtna temperatur skillnaden innan vänstra biten knäcks är alltså ΔTc=π2a230L2α\Delta T_c=\frac{\pi^2a^2}{30L^2\alpha}

    +
  • +
  • Ni fick även där en snabb titt på Eulers knäckfall. För att använda de behövdes det man enbart se liknelsen mellan bilderna och uppgiften, så var observanta över vilken sorts upphängning som balkarna i uppgifterna är upplagda med.

    +

Did it help you? Click to say "thanks" to the author!

Next lesson: Vridning

Want to create your own course on Ludu?

Back to lesson