Snittning

2 thanks

  • Snittning är nog det viktigaste verktyget i hållfasthetslära. Det kan verka lätt till en början, men blir snabbt komplicerat. Det bästa sättet att börja lära sig använda snittning är att gå genom hela processen bit för bit. Vi börjar därför med ett väldigt enkelt exempel.

    +
  • Exercise

  • En stång dras från båda änderna med en kraft PP . 

    +
  • +
  • Det vi är intresserade av är hur stången motverkar denna påfrestning. Strukturen försöker nämligen hålla sig själv ihop med hjälp av en inre kraft, en så kallad normalkraft NN . För att ta reda på hur stark denna kraft är delar vi upp stången i två bitar. 

    +
  • +
  • Man kan nu räkna på två jämvikter, den högra bitens och den vänstra bitens. Försök på er det själva.

    +
  • Solution

  • Vi får då att :P+N=0N=P\rightarrow : -P+N=0 \Rightarrow N=P  från den högra biten, och :N+P=0N=P\rightarrow : -N+P=0 \Rightarrow N=P från den vänstra biten.
    Båda bitarna har alltså lett oss till samma slutsats: att normalkraften är lika med PP . I med att biten i problemet är symmetriskt hade vi redan från början kunnat nöja oss med att bara räkna på endast en bit.

    +
  • Som ni kan se kan symmetriska problem lösas väldigt snabbt, genom att bara göra hälften av arbetet. Om det bara råder likadana påfrestningar på båda ändarna av en balk eller stång räcker det med att snitta på mitten och räkna ut jämvikten på ena biten (gäller inte riktigt för vridning och böjning, men det kommer vi till sen)

    +
  • Tyvärr är det sällan så enkelt. De jobbigaste snittningarna är nämligen alltid på ett eller annat sätt osymetriska. Antingen så har det påfrestade objektet en udda form, eller så påfrestas det av olika krafter på udda platser. Låt oss titta på ett sådant exempel:

    +
  • Exercise

  • +
  • Här belastas en balk av en kraft PP  strax till höger om balkens mitt. En vanlig jämvikt ger oss att balkens stöd skapar varsin reaktionskraft RAR_A och RBR_B , så att: RA+RB=PR_A+R_B=P . Om vi beräknar momentjämvikten i högra fästet får vi: LRA=13LPL\cdot R_A=\frac{1}{3}L\cdot P vilket kan skrivas om till: RA=13PR_A=\frac{1}{3}P . Om vi stoppar in detta i första jämviktsekvationen får vi: RB=23PR_B=\frac{2}{3}P . 
    Nu vill vi dock veta hur balkens inre påfrestas. Som ni kanske anar kommer balken att böjas, och vi vill därför ta reda på hur stor den största böjspänningen är, samt var den förekommer.

    +
  • I med att det är böjningar vi har att göra med måste vi ta till en snittning som tar bitarnas längd i beaktning. Man använder sig då av en variabel xx för att definiera en av bitarnas längd. Den andra biten blir således LxL-x lång.

    +
  • Vi behöver även definiera åt vilket håll xx varierar: från vänster till höger eller från höger till vänster. Inget av alternativen är fel, men man måste vara konsekvent när man valt ett. Vi prövar båda för att se hur de skiljer sig åt.

    +
  • Vänster till höger

    +
  • Snittning, med x-> till vänster om P
    +
  • Momentjämvikten i vänstra biten får vi till: :M=RAx\circlearrowleft: M=R_A x  , vilket vi mha tidigare jämvikten kan skriva om till 13Px\frac13 Px. Böjspänningen i biten beror alltså på var snittet är placerat, med andra ord, den varierar längs balken. 
    Vad som inte framgår i bilden ovan är att: :RA=T\uparrow:R_A=T där TT är en skjuvkraft. I detta fall bryr vi oss dock bara om momenten. 

    +
  •  I den högra biten blir momentjämvikten: RB(Lx)P(Lx13L)=MR_B(L-x)-P(L-x-\frac{1}{3}L)=M23P(Lx)P(23Lx)=M\frac{2}{3}P(L-x)-P(\frac{2}{3}L-x)=M 
    23Px+Px=M-\frac{2}{3}Px+Px=M 
    Vilket slutligen blir M=13PxM=\frac{1}{3}Px precis som för vänstra biten. 

    +
  • Men vänta. Om  nu xx skulle va högre än 23L\frac{2}{3}L så skulle dessa jämviktsekvationer ändras, eftersom PP då skulle vara på den vänstra biten och inte den högra. Försök göra de jämvikterna själv, och se vad du kommer fram till.

    +
  • Solution

  • Snittning, med x-> till höger om P
    +
  • Nu gäller x23Lx\ge\frac{2}{3}L Vi har nu att vänstra biten ger oss: M=RAxP(x23L)M=R_Ax-P(x-\frac{2}{3}L) 
    M=13PxP(x23L)M=\frac{1}{3}Px-P(x-\frac{2}{3}L) 
    M=23P(Lx)M=\frac{2}{3}P(L-x) 

    +
  • Och från den högra biten får vi:M=RB(Lx)M=R_B(L-x) 
    M=23P(Lx)M=\frac{2}{3}P(L-x) 

    +
  • Än en gång får vi samma på båda bitarna, men MM är nu annorlunda. Det beror på att böjspänningen variera på olika sätt till höger och vänster om PP . När x< \frac{2}{3}L så gäller M=13PxM=\frac{1}{3}Px . När x23Lx\ge\frac{2}{3}L så gäller M=23P(Lx)M=\frac{2}{3}P(L-x) . Det hela kan sammanfattas med ett så kallat Momentdiagram

    +
  • Momentdiagram
    +
  • Nu när vi sett hur det går till med ett högerorienterat xx , låt oss snabbt se hur det går till med ett vänsterorienterat.

    +
  • Exercise

  • Höger till vänster

    +
  • Snittning, med <-x till höger om P
    +
  • I detta fall börjar vi med högra biten, och låter x< \frac{1}{3}L . Vi får då att M=RBx=23PxM=R_Bx=\frac{2}{3}Px .
    Om x13Lx\ge\frac{1}{3}L så gäller M=RBxP(x13L)M=R_Bx-P(x-\frac{1}{3}L) 
    M=23PxPx+P13LM=\frac{2}{3}Px-Px+P\frac{1}{3}L 
    M=13P(Lx)M=\frac{1}{3}P(L-x) 

    +
  • Pröva och se själva vad ni kan räkna ut med vänstra biten.

    +
  • Solution

  • Snittning, med <-x till vänster om P
    +
  • om x<\frac{1}{3}L :M=RA(Lx)P(Lx23L)M=R_A(L-x)-P(L-x-\frac{2}{3}L) 
    M=13P(Lx)P(13Lx)M=\frac{1}{3}P(L-x)-P(\frac{1}{3}L-x) 
    M=23PxM=\frac{2}{3}Px 

    +
  • om x13Lx\ge\frac{1}{3}L :M=RA(Lx)M=R_A(L-x) 
    M=13P(Lx)M=\frac{1}{3}P(L-x) 

    +
  • Från vänstra biten får vi alltså precis samma slutsats som i högra. Ni kan även se att vi fått precis samma resultat som för det högerorienterade xx :et. Som ni kan se nedan uppstår största böjningen vid PP :s angreppspunkt, vilket är rimligt. Vi kan då se att MM som störst är lika med 29PL\frac{2}{9}PL .

    +
  • +
  • I tentornas facit kommer ni nog märka att flera steg skippas. Det kan verka som det bara är för att förvirra folk (vilket i vissa fall kan va sant...) men oftast sparar man otroligt mycket tid och ansträngning om man lär sig göra det själv. I exemplet ovan tittade vi på alla bitar, från två xx orienteringar. Egentligen hade vi kunna nöja oss med bara en orientering och en bit. Det enda som hade krävts vore att dela upp det i 2 fall, ett då snittet är på ena sidan av PP , och ett för den andra sidan. Vi hade då kunnat få två funktioner M(x)M(x) , med vilka vi kunde rita ett momentdiagram och enkelt komma fram till var påfrestningen var störst, samt dess värde.

    +
  • Vad ni också kunde märka var att vi endast koncentrerade oss på momentjämvikterna. Det är lätt hänt att förhastat kolla alla jämvikter, men det ödslar viktig tid på tentan. Därför måste man först se vad uppgiften ber om, och skippa det som är irrelevant.

    +
  • Hade skjuvspänning varit det som ombetts hade vi bara tittat på vertikala jämvikten. Att finna största normalspänningen hade även kunnat vara frågan. Dock hade vi i så fall behövt momentjämvikten, så början på uppgiften hade då varit likadan. 

    +

Did it help you? Click to say "thanks" to the author!

Next lesson: Töjning

Want to create your own course on Ludu?

Back to lesson