Lesson 7

Vektorfält

28

Vad är vektorfält?

Ett vektorfält är ett rum där varje punkt i rummet är en vektor.


Man skulle alltså kunna skriva funktionen till ett vektorfält på följande sätt:


F(x,y)=(g(x,y),h(x,y))F(x,y)=(g(x,y),h(x,y))


Det finns faktiskt flera fysikaliska exempel på vektorfält i vår värld, t.ex. elektriska fält och magnetiska fält.

Konservativa vektorfält

Vektorfältet FF sägs vara konservativt om det existerar en funktion UU sådan att U=F(x,y)\nabla U=F(x,y).


Obs! Denna funktion UU kallas även för en potentialfunktion till FF.


I uppgifter måste man ofta ta reda på om ett fält F(x,y)=(g(x,y),h(x,y))F(x,y)=(g(x,y),h(x,y)) är konservativt eller inte. Vi måste isåfall hitta en funktion UU som uppfyller kravet ovan. För att hitta det löser man ekvationssystemet:

  • Ux=g(x,y)\frac { \partial U }{ \partial x } =g(x,y)

  • Uy=h(x,y)\frac { \partial U }{ \partial y } =h(x,y)

Om systemet saknar lösning så är vektorfältet inte konservativt.


Om vektorfältet F(x,y)=(g(x,y),h(x,y))F(x,y)=(g(x,y),h(x,y)) är sammanhängande (d.v.s. att båda dess funktioner g(x,y)g(x,y) och h(x,y)h(x,y) är kontinuerliga), så kan man bevisa att F är konservativt genom att visa att hx=gy\frac { \partial h }{ \partial x } =\frac { \partial g }{ \partial y }


Exempel:

Bestäm alla reella tal a och b så att vektorfältet F=(xya,(1+bx2)y2)F=(x{ y }^{ a },(1+b{ x }^{ 2 }){ y }^{ 2 }) blir konservativt.


Lösning:

Vi identifierar först våra funktioner g(x,y)g(x,y) och h(x,y)h(x,y) utifrån vektorfältet som vi fått. Vi ser att:

  • g(x,y)=xyag(x,y)=x{ y }^{ a }

  • h(x,y)=(1+bx2)y2h(x,y)=(1+b{ x }^{ 2 }){ y }^{ 2}

Vi märker också att båda funktionerna är kontinuerliga. För att fältet ska bli konservativt kan vi alltså sätta:


hx=gy\frac { \partial h }{ \partial x } =\frac { \partial g }{ \partial y }


Vi räknar först ut derivatan av h med avseende på x:


hx=2bxy2\frac { \partial h }{ \partial x } =2bx{ y }^{ 2 }


Och sedan derivatan av g med avseende på y:


hy=axya1\frac { \partial h }{ \partial y } =axy^{ a-1 }


Slutligen löser vi då ekvationen:


2bxy2=axya12bx{ y }^{ 2 }=axy^{ a-1 }


...vilket man ser att man kan göra genom att lösa ekvationssystemet:

  • 2b=a2b=a (talen framför xx)

  • 2=a12=a-1 (yy:s exponenter)

Vi får då ut två lösningar!

  1. a=b=0a=b=0 (detta ser man direkt i ekvationen)

  2. a=3,b=23a=3,\quad b=\frac { 2 }{ 3 }

Comments

Sebastian Liljedal

Jag anser att slutet på denna inte stämmer. Är verkligen de a och b du fått ut korrekta för att tillfredsställa ekvationssystemet? skulle säga a=3 och b=3/2