Lesson 5

Tangentplan

41

Ett tangentplan är ett plan som skär en yta i en enda punkt. I uppgifter får man ofta ekvationen till en yta f(x,y)f\left( x,y \right) eller f(x,y,z)f\left( x,y,z \right) samt en punkt P(a,b,c)P(a,b,c) och ska utifrån den informationen hitta tangentplanets ekvation. Detta gör man genom att:

  1. Om nivåytans funktion redan har 3 dimensioner f(x,y,z)f\left( x,y,z \right) går vi direkt till steg 2. I annat fall måste vi först räkna ut z0{ z }_{ 0 } genom att sätta in punktens koordinater i funktionen.

  2. Ta fram gradienten f\nabla f och sätt in P:s koordinater i denna för att få fram normalvektorn n\vec { n }. Vi har alltså: n=f\vec { n } = \nabla f i punkten P(a,b,c)P(a,b,c)

  3. Räkna ut tangentplanets ekvation:

  • Om nivåytans funktion redan har 3 dimensioner använder vi formeln: n(xa,yb,zc)\overrightarrow n \bullet (x-a,\quad y-b,\quad z-c)

  • Om nivåytans funktion bara har 2 dimensioner använder vi den snarlika formeln: zz0=n(xa,yb)z-{ z }_{ 0 }=\overrightarrow n \bullet (x-a,\quad y-b)


Exempel 1: Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (1,1,2)(1,-1,2) till ellipsoiden 2x2+3y2+z2=92{ x }^{ 2 }+3{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=9


Lösning: Vi skriver först om ellipsoidens ekvation till en funktion:

f(x,y,x)=2x2+3y2+z29f(x,y,x)=2{ x }^{ 2 }+3{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }-9

Vi konstaterar att denna redan har 3 dimensioner vilket betyder att vi kan gå till steg 2!

Vi tar fram funktionens gradient:

f=(4x,6y,2z)\nabla f=(4x,6y,2z)

... och sätter in punktens koordinater för att få fram normalvektorn:

n=((41),(61),(22))=(4,6,4)=(2,3,2)\overrightarrow n =((4\cdot 1),(6\cdot -1),(2\cdot 2))=(4,-6,4)=(2,-3,2)

Slutligen kan vi räkna ut tangentplanets ekvation:

n(xa,yb,zc)\overrightarrow n \bullet (x-a,\quad y-b,\quad z-c)

=(2,3,2)(x1,y+1,z2)=(2,-3,2)\bullet (x-1,y+1,z-2)

=(2x2)+(3y3)+(2z4)=(2x-2)+(-3y-3)+(2z-4)

=2x3y+2z9=2x-3y+2z-9

Vi har nu fått fram tangentplanets ekvation som kan skrivas: 2x3y+2z=92x-3y+2z=9


Exempel 2:

Vi har funktionen f(x,y)=e5x2y2f(x,y)={ e }^{ 5-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }

Bestäm tangentplanet till funktionsytan z=f(x,y)z=f(x,y) i den punkt på ytan där x=1x=1 och y=2y=2


Lösning:

Här konstaterar vi att funktionen ff endast har 2 dimensioner.

Vi måste alltså först räkna ut z0{ z }_{ 0 } genom att sätta in punktens koordinater i ff:

z0=f(1,2)=e5(1)2(2)2=e514=e0=1{ z }_{ 0 }=f(1,2)={ e }^{ 5-{ (1) }^{ 2 }-(2)^{ 2 } }={ e }^{ 5-1-4 }={ e }^{ 0 }=1

Vi går nu över till steg 2 och börjar med att räkna ut funktionens gradient:

f=(2xe5x2y2,2ye5x2y2)\nabla f=(-2x{ e }^{ 5-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } },-2y{ e }^{ 5-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } })

Vi sätter sedan in punktens koordinater i gradienten för att få fram normalvektorn:

n=(2xe0,4e0)=(2,4)\overrightarrow n=(-2x{ e }^{ 0 },-4{ e }^{ 0 })=(-2,-4)

Slutligen applicerar vi formeln för att få fram tangentplanets ekvation:

zz0=n(xa,yb)z-{ z }_{ 0 }=\overrightarrow n \bullet (x-a,\quad y-b)

z1=(2,4)(x1,y2)\Leftrightarrow z-1=(-2,-4)\bullet (x-1,y-2)

z=2x4y+11\Leftrightarrow z=-2x-4y+11

z1=2x+24y+8\Leftrightarrow z-1=-2x+2-4y+8

Vi har nu fått fram tangentplanets ekvation som kan skrivas:

2x+4y+z=112x+4y+z=11

Comments

Alen Kovacevic
4

ska stå 2 istället för 4 va?

Tristan Edwards

Helt rätt. Fixat nu, tack!

profile/avatar/default
Annamaria Gauffin

Varför dividerade du alla koordinater med 2?

profile/avatar/default
Annamaria Gauffin

Aha, tack!

Tristan Edwards

@annamaria-gauffin: Precis som med bråktal så kan man dividera och multiplicera talen med vad man vill, eftersom normalvektorn representerar en riktning, och inte en specifik längd.