Tangentplan

Ett tangentplan är ett plan som skär en yta i en enda punkt. I uppgifter får man ofta ekvationen till en yta $f\left( x,y \right)$ eller $f\left( x,y,z \right)$ samt en punkt $P(a,b,c)$ och ska utifrån den informationen hitta tangentplanets ekvation. Detta gör man genom att:

1. Om nivåytans funktion redan har 3 dimensioner $f\left( x,y,z \right)$ går vi direkt till steg 2. I annat fall måste vi först räkna ut ${ z }_{ 0 }$ genom att sätta in punktens koordinater i funktionen.

2. Ta fram gradienten $\nabla f$ och sätt in P:s koordinater i denna för att få fram normalvektorn $\vec { n }$. Vi har alltså: $\vec { n } = \nabla f$ i punkten $P(a,b,c)$

3. Räkna ut tangentplanets ekvation:

• Om nivåytans funktion redan har 3 dimensioner använder vi formeln: $\overrightarrow n \bullet (x-a,\quad y-b,\quad z-c)$

• Om nivåytans funktion bara har 2 dimensioner använder vi den snarlika formeln: $z-{ z }_{ 0 }=\overrightarrow n \bullet (x-a,\quad y-b)$

  
  

Exempel 1: Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten $(1,-1,2)$ till ellipsoiden $2{ x }^{ 2 }+3{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=9$

Lösning: Vi skriver först om ellipsoidens ekvation till en funktion:

$f(x,y,x)=2{ x }^{ 2 }+3{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }-9$

Vi konstaterar att denna redan har 3 dimensioner vilket betyder att vi kan gå till steg 2!

Vi tar fram funktionens gradient:

$\nabla f=(4x,6y,2z)$

... och sätter in punktens koordinater för att få fram normalvektorn:

$\overrightarrow n =((4\cdot 1),(6\cdot -1),(2\cdot 2))=(4,-6,4)=(2,-3,2)$

Slutligen kan vi räkna ut tangentplanets ekvation:

$\overrightarrow n \bullet (x-a,\quad y-b,\quad z-c)$

$=(2,-3,2)\bullet (x-1,y+1,z-2)$

$=(2x-2)+(-3y-3)+(2z-4)$

$=2x-3y+2z-9$

Vi har nu fått fram tangentplanets ekvation som kan skrivas: $2x-3y+2z=9$

Exempel 2:

Vi har funktionen $f(x,y)={ e }^{ 5-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }$

Bestäm tangentplanet till funktionsytan $z=f(x,y)$ i den punkt på ytan där $x=1$ och $y=2$

Lösning:

Här konstaterar vi att funktionen $f$ endast har 2 dimensioner.

Vi måste alltså först räkna ut ${ z }_{ 0 }$ genom att sätta in punktens koordinater i $f$:

${ z }_{ 0 }=f(1,2)={ e }^{ 5-{ (1) }^{ 2 }-(2)^{ 2 } }={ e }^{ 5-1-4 }={ e }^{ 0 }=1$

Vi går nu över till steg 2 och börjar med att räkna ut funktionens gradient:

$\nabla f=(-2x{ e }^{ 5-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } },-2y{ e }^{ 5-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } })$

Vi sätter sedan in punktens koordinater i gradienten för att få fram normalvektorn:

$\overrightarrow n=(-2x{ e }^{ 0 },-4{ e }^{ 0 })=(-2,-4)$

Slutligen applicerar vi formeln för att få fram tangentplanets ekvation:

$z-{ z }_{ 0 }=\overrightarrow n \bullet (x-a,\quad y-b)$

$\Leftrightarrow z-1=(-2,-4)\bullet (x-1,y-2)$

$\Leftrightarrow z=-2x-4y+11$

$\Leftrightarrow z-1=-2x+2-4y+8$

Vi har nu fått fram tangentplanets ekvation som kan skrivas:

$2x+4y+z=11$