Lesson 3

Stationära punkter och deras karaktär

52

Hur man hittar dem

Stationära punkter är de punkter där funktionens partiella derivator är lika med noll (det är alltså vid dessa punkter som funktionen svänger).


För att hitta de stationära punkterna för en funktion f(x)f\left( x \right) måste vi:

  • Hitta f(x)f\left( x \right) partiella derivator (gradienten)

  • Sätta att de är lika med noll, och lösa ekvationssystemet

Exempel:


Hitta alla stationära punkter till f(x,y,z)=x3+y26xy+z22zf\left( x,y,z \right) ={ x }^{ 3 }+{ y }^{ 2 }-6xy+{ z }^{ 2 }-2z


Lösning:


Vi beräknar först de partiella derivatorna:

  • fy=3x26y\frac { \partial f }{ \partial y } =3{ x }^{ 2 }-6y

  • fy=2y6x\frac { \partial f }{ \partial y } =2{ y }-6x

  • fz=2z2\frac { \partial f }{ \partial z } =2{ z }-2

Vi sätter nu att gradienten är lika med noll, och löser ekvationssystemet.


Vi börjar med att utveckla den andra ekvationen:


2y6x=02y=6xy=3x2y-6x=0\Leftrightarrow 2y=6x\Leftrightarrow y=3x


Vi har nu y i förhållande till x. Nu kan vi ersätta alla y i den första ekvationen med 3x för att få ut x värde i den första ekvationen!


3x26y=03x218x=0x(3x18)=03{ x }^{ 2 }-6y=0\Leftrightarrow 3{ x }^{ 2 }-18x=0\Leftrightarrow x(3x-18)=0


Som vi märker har den här ekvationen 2 lösningar:

  1. x=0x=0

  2. x=6x=6

Slutligen löser vi den tredje ekvationen, som också är enklast eftersom den bara innhåller en variabel (z):


2z2=02z=2z=12z-2=0\Leftrightarrow 2z=2\Leftrightarrow z=1


Nu är alla uträkningar klara! Eftersom x har två lösningar finns det även två lösningar till vårt ekvationssystem, nämligen:

  1. (0,30,1)=(0,0,1)(0,3\cdot 0,1)=(0,0,1)

  2. (6,36,1)=(6,18,1)(6,3\cdot 6,1)=(6,18,1)

Funktionen har alltså två stationära punkter: (0,0,1)(0,0,1) och (6,18,1)(6,18,1)

Punkternas karaktär

För att hitta de stationära punkternas karaktär, måste man dessutom räkna ut funktionens partiella andraderivator (derivatan av derivatan). Om vi har en funktion f(x,y)f(x,y) finns det 3 olika partiella andraderivator:

  • fxx{ f'' }_{ xx } (kan också skrivas 2fx2\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ { \partial x }^{ 2 } } ), där vi deriverar fx{ f' }_{ x } med avseende på xx.

  • fxy{ f'' }_{ xy } (kan också skrivas 2fxy\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ { \partial x\partial y } } ), där vi antingen deriverar fx{ f' }_{ x } med avseende på yy, eller fy{ f' }_{ y } med avseende på xx. Båda ger samma resultat.

  • fyy{ f'' }_{ yy } (kan också skrivas 2fy2\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ { \partial y }^{ 2 } } ), där vi deriverar fy{ f' }_{ y } med avseende på yy.

När vi räknat ut dessa, sätter vi sedan:


A=fxxA={ f'' }_{ xx }


B=fxyB={ f'' }_{ xy }


C=fyyC={ f'' }_{ yy }

  1. Om ACB2AC-{ B }^{ 2 } = 00, är punkten odefinierad

  2. Om ACB2<0AC-{ B }^{ 2 }<0, är punkten en sadelpunkt

  3. Om ACB2>0AC-{ B }^{ 2 } >0, och A>0A>0, är punkten ett lokalt minimum

  4. Om ACB2>0AC-{ B }^{ 2 }>0,  och A<0A<0, är punkten ett lokalt maximum

Exempel:


Låt f(x,y)=10+x3+y33xyf(x,y)=10+{ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }-3xy.


Hitta funktionens stationära punkter och avgör deras karaktär!


Lösning:


Vi börjar, precis som i förra exemplet, med att hitta de stationära punkterna genom att beräkna funktionens partiella derivator:

  • fx=3x23y{ f' }_{ x }=3{ x }^{ 2 }-3y

  • fy=3y23x{ f' }_{ y }=3{ y }^{ 2 }-3x

Vi sätter att gradienten är lika med noll, och löser ekvationssystemet. Vi kan börja med första raden:


3x23y=0x2y=0y=x23{ x }^{ 2 }-3y=0\Leftrightarrow { x }^{ 2 }-y=0\Leftrightarrow y={ x }^{ 2 }


Vi sätter in y:s nya värde i den andra ekvationen och får:


3y23x=0y2x=0(x2)2x=0x4x=0x(x31)=03{ y }^{ 2 }-3x=0\Leftrightarrow { y }^{ 2 }-x=0\Leftrightarrow ({ x }^{ 2 })^{ 2 }-x=0\Leftrightarrow { x }^{ 4 }-x=0\Leftrightarrow x({ x }^{ 3 }-1)=0


Vi ser att ekvationen har 2 lösningar: x=0x=0 och x=1x=1

  1. När x=0x=0, får vi y=02=0y={ 0 }^{ 2 }=0

  2. När x=1x=1, får vi y=12=1y=1^{ 2 }=1

Vi har alltså 2 stationära punkter: (0,0)(0,0) och (1,1)(1,1)


Vi kommer nu till uppgiftens andra del, där vi ska avgöra punkternas karaktär!


Vi börjar med att räkna ut andraderivatorna A, B och C!

  • A=fxx=6xA={ f'' }_{ xx }=6x

  • B=fxy=fyx=3B={ f'' }_{ xy }={ f'' }_{ yx }=-3

  • C=fyy=6yC={ f'' }_{ yy }=6y

Vi använder slutligen formeln vi gick igenom för att hitta de 2 punkternas karaktär:

  1. Punkten (0,0)(0,0): ACB2=6x6y(3)2=09=9AC-{ B }^{ 2 }=6x6y-{ (-3) }^{ 2 }=0-9=-9. Vi får att ACB2<0AC-{ B }^{ 2 }<0, alltså är punkten (0,0)(0,0) en sadelpunkt!

  2. Punkten (1,1)(1,1): ACB2=6x6y(3)2=669=369=27AC-{ B }^{ 2 }=6x6y-{ (-3) }^{ 2 }=6\cdot 6-9=36-9=27 . Vi får att ACB2AC-{ B }^{ 2 }&gt;00, och vi har A=6x=61=6A=6x=6\cdot 1=6 , som är positivt. Alltså är punkten (1,1)(1,1) en minimipunkt!

Vi kan nu konstatera att funktionen har en sadelpunkt (0,0)(0,0) och en minipunkt (1,1)(1,1)!

Comments

Viktor Olsson

Varför sätter man inte upp en hessematris där man för in punkterna för att bestämma vad för något punkterna är?

profile/avatar/default
Ragda Kalifa

Är sadelpunkt samma sak som terasspunkt?

profile/avatar/default
SugarDaddy

Nästan, en terasspunkt talar man om i en variabel, en funktion som endast beror av en variabel f(x) t.ex. Medan en sadelpunkt gäller för en funktionskurva eller funktionsyta, dvs med flera variabler. Det är samma poäng men med avseende på olika antal variabler.