Hur man hittar dem
Stationära punkter är de punkter där funktionens partiella derivator är lika med noll (det är alltså vid dessa punkter som funktionen svänger).
För att hitta de stationära punkterna för en funktion måste vi:
Hitta partiella derivator (gradienten)
Sätta att de är lika med noll, och lösa ekvationssystemet
Exempel:
Hitta alla stationära punkter till
Lösning:
Vi beräknar först de partiella derivatorna:
Vi sätter nu att gradienten är lika med noll, och löser ekvationssystemet.
Vi börjar med att utveckla den andra ekvationen:
Vi har nu y i förhållande till x. Nu kan vi ersätta alla y i den första ekvationen med 3x för att få ut x värde i den första ekvationen!
Som vi märker har den här ekvationen 2 lösningar:
Slutligen löser vi den tredje ekvationen, som också är enklast eftersom den bara innhåller en variabel (z):
Nu är alla uträkningar klara! Eftersom x har två lösningar finns det även två lösningar till vårt ekvationssystem, nämligen:
Funktionen har alltså två stationära punkter: och
Punkternas karaktär
För att hitta de stationära punkternas karaktär, måste man dessutom räkna ut funktionens partiella andraderivator (derivatan av derivatan). Om vi har en funktion finns det 3 olika partiella andraderivator:
(kan också skrivas ), där vi deriverar med avseende på .
(kan också skrivas ), där vi antingen deriverar med avseende på , eller med avseende på . Båda ger samma resultat.
(kan också skrivas ), där vi deriverar med avseende på .
När vi räknat ut dessa, sätter vi sedan:
Om = , är punkten odefinierad
Om , är punkten en sadelpunkt
Om , och , är punkten ett lokalt minimum
Om , och , är punkten ett lokalt maximum
Exempel:
Låt .
Hitta funktionens stationära punkter och avgör deras karaktär!
Lösning:
Vi börjar, precis som i förra exemplet, med att hitta de stationära punkterna genom att beräkna funktionens partiella derivator:
Vi sätter att gradienten är lika med noll, och löser ekvationssystemet. Vi kan börja med första raden:
Vi sätter in y:s nya värde i den andra ekvationen och får:
Vi ser att ekvationen har 2 lösningar: och
När , får vi
När , får vi
Vi har alltså 2 stationära punkter: och
Vi kommer nu till uppgiftens andra del, där vi ska avgöra punkternas karaktär!
Vi börjar med att räkna ut andraderivatorna A, B och C!
Vi använder slutligen formeln vi gick igenom för att hitta de 2 punkternas karaktär:
Punkten : . Vi får att , alltså är punkten en sadelpunkt!
Punkten : . Vi får att >, och vi har , som är positivt. Alltså är punkten en minimipunkt!
Vi kan nu konstatera att funktionen har en sadelpunkt och en minipunkt !