Lesson 1

Partiella derivator och gradienten

76

Vad är partiella derivator?

Inom envariabelanalys räknar man ofta ut derivatan till en funktion, och det fungerar ju utmärkt så länge som funktionen bara har en variabel (x)(x). Men när man börjar med flervariabelanalys stöter man på funktioner som har flera variabler i sig, som denna: f(x,y)=x2+5y+2xf(x,y)={ x }^{ 2 }+5y+2x.


Hur räknar man ut derivatan till den här? Ska man derivera x? Eller y? Eller båda?

Gradienten

Svaret är att funktioner med flera variabler inte bara har en derivata, utan flera partiella derivator.


En partiell derivata är en derivata som bara räknas ut med avseende på en av funktionens flera variabler.


Vår funktion f(x,y)f(x,y) har två variabler och har därför också två partiella derivator:

  • fx\frac { \partial f }{ \partial x } (läses: derivatan av f med avseende på x). Kan också skrivas fx{ f' }_{ x }

  • fy\frac { \partial f }{ \partial y } (läses: derivatan av f med avseende på y). Kan också skrivas fy{ f' }_{ y }

När man räknar med partiella derivator är det viktigt att hålla koll på vilken variabel man deriverar med avseende på, eftersom alla andra variabler betraktas som konstanter.


För att lättare förstå detta kan man, när man ska derivera funktionen med avseende på en av variablerna, ersätta den andra variabeln med ett kk (står för konstant).


För funktionen f(x,y) kan vi alltså tänka oss att vi har två olika funktioner som ska deriveras, beroende på vilken variabel vi deriverar med avseende på:

  • Med avseende på x: Vi ersätter alla y:n med k och får då funktionen: f(x)=x2+5k+2xf(x)={ x }^{ 2 }+5k+2x.

  • Med avseende på y: Vi ersätter alla x med k och får då funktionen: f(y)=k2+5y+2kf(y)={ k }^{ 2 }+5y+2k

Nu återstår bara att derivera de här 2 funktionerna, vilket fungerar precis som i envariabelanalys!

  • Derivatan av f(x): f(x)=2x+2f'(x)=2x+2

  • Derivatan av f(y): f(y)=5f'(y)=5

Då har vi räknat ut våra partiella derivator! Vi har alltså:


fx=2x+2\frac { \partial f }{ \partial x }=2x+2 och fy=5\frac { \partial f }{ \partial y } =5


Nu när vi vet hur partiella derivator fungerar är det väldigt lätt att förstå vad gradienten till en funktion är.


Gradienten är en vektor som har funktionens partiella derivator som komponenter! Man brukar beteckna gradienten antingen med nabla-symbolen (abla abla ) eller med förkortningen grad.


Definitionen är alltså:


ablaf(x,y)=(fx,fy) abla f(x,y)=(\frac { \partial f }{ \partial x } ,\frac { \partial f }{ \partial y } )


En annan egenskap som gradienten har är att den är ortogonal mot funktionens nivåyta. Om man ska räkna ut ett plans normalvektor räknar man alltså ut gradienten till planets ekvation.

Exercise

Beräkna gradienten till funktionen f(x,y,z)=x2y+zf(x,y,z)={ x }^{ 2 }y+z

Solution

Vi börjar med att räkna ut funktionens partiella derivator. Eftersom f(x,y,z)f(x,y,z) har tre olika variabler har den också 3 partiella derivator:

  1. Med avseende på xx: Vi ser yy och zz som konstanter och räknar sedan ut derivatan. Vi får då: fx=2xy\frac { \partial f }{ \partial x } =2xy

  2. Med avseende på yy: Vi ser x och z som konstanter och räknar ut derivatan. Vi får: fy=x2\frac { \partial f }{ \partial y } ={ x }^{ 2 }

  3. Med avseende på zz: Vi ser x och y som konstanter och räknar ut derivatan som blir: fz=1\frac { \partial f }{ \partial z } =1

Vi sätter nu ihop våra partiella derivator till en vektor och får då gradienten!


ablaf(x,y,z)=(2xy,x2,1)abla f(x,y,z)=(2xy,{ x }^{ 2 },1)


Comments

Ted Klein Bergman

Tror det ska nabla symbolen här!