Lesson 4

Lagranges sats

44

Definition

I ett matematiskt problem där vi har ett villkor ff och ett bivillkor gg, säger Lagranges sats att lösningen erhålls i den punkt där f\triangledown f och g\triangledown g är parallella.

Hur man löser ett Langrange-problem

För att lösa ett Lagrange-problem gör man följande:

  1. Identifiera villkoret och bivillkoret! Sätt f(x,y)=villkorf(x,y)=villkor och g(x,y)=bivillkorg(x,y)=bivillkor. (Obs! Ibland bör man också konstatera att ff är kontinuerlig och gg är kompakt, och att det alltså finns en lösning).

  2. Räkna ut f\triangledown f och g\triangledown g

  3. Lös Lagrange-ekvationen: f=λg\triangledown f=\lambda \triangledown g genom att ställa upp resultatet som ett ekvationssystem, alltså:

  • fx=λgx\frac { \partial f }{ \partial x } =\lambda \frac { \partial g }{ \partial x }

  • fy=λgy\frac { \partial f }{ \partial y } =\lambda \frac { \partial g }{ \partial y }

  • bivillkor

De 2 första raderna är funktionernas gradienter, och den sista raden är bivillkoret. Genom att lösa systemet får man en eller flera punkter P(x,y).

Om du får flera punkter finns det även ett sista steg: sätt in punkternas värden i funktionen f. Kolla vilken punkt som ger det största eller minsta resultatet (beroende på vad som söks). Där har du svaret!

Exempel

Vad är det största värdet som kan antas av funktionen f(x,y)=xyf(x,y)=xy om punkten (x,y)(x,y) högst får ligga en längdenhet från origo?

Lösning

Vi identifierar först vårt villkor och bivillkor! Vi ser direkt att vårt villkor (det värde som vi vill maximera) är: f(x,y)=xyf(x,y)=xy

Vi måste nu formulera om bivillkoret, att punkten (x,y) högst får ligga en längdenhet från origo, till en funktion g.

Meningen betyder att punkten högst får ligga på randen till cirkeln med ekvationen:x2+y2=1{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1

Vi kan alltså formulera om det till:

g(x,y)=x2+y21g(x,y)={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1


Vi ställer nu upp Lagrange-ekvationen (genom att lösa de partiella derivatorna), och får:

  • y=λ2xy=\lambda 2x

  • x=λ2yx=\lambda 2y

  • x2+y2=1{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1

Vi börjar med att ersätta x i den första ekvationen med dess värde från den andra ekvationen! Vi får då:

y=λ2xy=λ2(λ2y)y=4yλ24yλ2y=0y=\lambda 2x\Leftrightarrow y=\lambda 2(\lambda 2y)\Leftrightarrow y=4y\lambda ^{ 2 }\Leftrightarrow 4y\lambda ^{ 2 }-y=0

y(4λ21)=0\Leftrightarrow y(4\lambda ^{ 2 }-1)=0

...vilket ger lösningen: λ=±12\lambda =\pm \frac { 1 }{ 2 }


Om vi sätter in det värdet på första (eller andra ekvationen), får vi att:

x=±yx=\pm y

Slutligen ersätter vi x med ±y\pm y i den tredje ekvationen, och får då:

y2+y2=12y2=1y=±12{ y }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1\Leftrightarrow 2{ y }^{ 2 }=1\Leftrightarrow y=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }

På samma sätt kan vi ersätta yy med ±x\pm x och får:

x2+x2=12x2=1x=±12{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }=1\Leftrightarrow 2{ x }^{ 2 }=1\Leftrightarrow x=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }


Vi får alltså 4 punkter:

  1. (12,12)(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } )

  2. (12,12)(-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } )

  3. (12,12)(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } )

  4. (12,12)(-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } )

Eftersom vi har flera punkter måste vi sätta in punkternas värden i funktionen f. Gör man detta märker man att det största värdet antas då:

f(12,12)=f(12,12)=12f(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } )=f(-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } )=\frac { 1 }{ 2 }

Det största värdet som kan antas av funktionen om punkten (x, y) högst får ligga en längdenhet från origo är alltså 1/2!


Comments

Ted Klein Bergman
Exempel:

Exemplet och lösningen har försvunnit

Tristan Edwards

De hade inte försvunnit, dock var det kanske inte så tydligt att det var ett exempel och en lösning. Jag la till lite färger nu för att göra det tydligare. 😊

Christian Abdelmassih

Hur kommer det sig att lambda kan vara både λ=±12\lambda = \pm \frac{1}{2} ? Vore det inte orimligt att den var negativ?