Lesson 9

Kurvintegraler & Greens formel

21

Vad är en kurvintegral?

Vi har först ett vektorfält F(x,y)F(x,y) som kan ritas upp som en yta i x,y,z-planet (vi har markerat ytan med lila färg på bilden nedan).


Vi har sedan en vanlig envariabelsfunktion c(x)c(x) som ritar upp en tvådimensionell kurva CC i x,y-planet (den oranga kurvan längst ner på bilden).


Tänk er nu alla punkter mellan vår tredimensionella yta och kurvan CC. Dessa bildar en slags "sned vägg": på bilden nedan är detta den blåa ytan DD.


Det är den ytan som vi är intresserade av.


Den är den "snea väggen" (eller "gardinen" om man så vill) D som vi vill räkna ut arean på! 


Det finns ett annat (mer matematiskt) sätt att förklara vad arean på ytan DD är, nämligen kurvintegralen av F(x,y)F(x,y) längs CC. Denna kurvintegral betecknas såhär: CF(x,y)ds\int _{ C }^{ }{ F(x,y)ds }

Räkna ut kurvintegralen

Om vi har ett vektorfält FF och en parametriserad kurva CC (alltså en kurva som vi känner till värdemängden på), sådan att C=r(t)=(x(t),y(t))C=r(t)=(x(t),y(t)), atba\le t\le b, så kan vi räkna ut kurvintegralen av FF längs CC med följande formel:


CFdr=abF(r(t))r(t)dt\int _{ C }^{ }{ F\bullet dr } =\int _{ a }^{ b }{ F(r(t)) } \bullet r'(t)dt




Exempel:

Låt F=(2y,2x,z+y)\vec { F } =(2y,2x,z+y). Beräkna kurvintegralen av F\vec { F } längs sträckan ABABA=(1,1,1)A=(1,1,1) och B=(2,2,3)B=(2,2,3).


Lösning:

Här har vi ett enkelt exempel då sträckan ABAB är en rät linje. Vi börjar med att räkna ut den här linjens ekvation. Vi tar först fram dess riktningsvektor: BA=(2,2,3)(1,1,1)=(1,1,2)B-A=(2,2,3)-(1,1,1)=(1,1,2).


Riktningsvektorn är alltså (1,1,2)t(1,1,2)t.


Vi väljer nu AA som startpunkt och får att linjens ekvation är: r(t)=(1+t,1+t,1+2t)r(t)=(1+t,1+t,1+2t).


Eftersom linjen ska vara parametriserad måste vi hitta värdena aa och bb (från definitionen ovan), som insatta i r(t)r(t) ger linjens värdemängd.


Vi vet att i det här fallet är linjens största värde B=(2,2,3)B=(2,2,3) och dess minsta är A=(1,1,1)A=(1,1,1). För att r(t)=Ar(t)=A måste vi ha t=0t=0. För att r(t)=Br(t)=B måste vi ha t=1t=1.


Alltså får vi: 0t10\le t\le 1.


Vi ska nu applicera formeln från definitionen! För att integreringen ska ske så enkelt som möjligt kan vi första räkna ut allts som finns inuti den. Vi sätter först in r(t)r(t) i FF:


F(r(t))=(2(1+t),2(1+t),(1+2t)+(1+t))=(2+2t,2+2t,2+3t)\vec { F } (r(t))=(2(1+t),2(1+t),(1+2t)+(1+t))=(2+2t,2+2t,2+3t).


Vi räknar också ut derivatan till rr: r(t)=(1,1,2)r'(t)=(1,1,2).


Slutligen räknar vi ut F(r(t))r(t)\vec { F } (r(t))\bullet r'(t):


F(r(t))r(t)=(1(2+2t))+(1(2+2t))+(2(2+3t))\vec { F } (r(t))\bullet r'(t)=(1(2+2t))+(1(2+2t))+(2(2+3t))


=2+2t+2+2t+4+6t=2+2t+2+2t+4+6t


=10t+8=10t+8


Nu är det äntligen bara att använda formeln och sätta in allt som vi har räknat ut:


ABFdr=abF(r(t))r(t)dt\int _{ AB }^{ }{ F\bullet dr } =\int _{ a }^{ b }{ F(r(t)) } \bullet r'(t)dt


=0110t+8dt=\int _{ 0 }^{ 1 }{ 10t+8 } dt


=[5t2+8t]01={ \left[ 5{ t }^{ 2 }+8t \right] }_{ 0 }^{ 1 }


=5+8=5+8


=13=13

Greens formel

Om CC är en sluten kurva (d.v.s. att den har samma start- och ändpunk) som omsluter området DD, och F(P,Q)\vec { F } (P,Q) är ett vektorfält, kan vi beräkna kurvintegralen av FF längs CC med Greens formel:


CFdr=CPd(x)+Qd(y)=D(QxPy)dxdy\int _{ C }^{ }{ F\bullet dr } =\int _{ C }^{ }{ Pd(x)+Qd(y) } =\iint _{ D }^{ }{ (\frac { \partial Q }{ \partial x } -\frac { \partial P }{ \partial y } ) } dxdy




Exempel:

Låt F=(ex2+x2y,y2+sin(y))\vec { F } =({ e }^{ { x }^{ 2 } }+{ x }^{ 2 }y,{ y }^{ 2 }+sin(y)). Beräkna kurvintegralen CFdr\int _{ C }^{ }{ F\bullet dr } längs cirkeln x2+y2=1{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1, genomlöpt ett varv i positiv riktning (moturs).


Lösning:

Eftersom kurvan CC är en cirkel vet vi att den också är sluten! Vi kan alltså använda Greens formel! Vi räknar först ur de partiella derivatorna till FF:

  • Qx=0\frac { \partial Q }{ \partial x } =0

  • Py=x2\frac { \partial P }{ \partial y } ={ x }^{ 2 }

Vi skriver nu upp Greens formel och sätter in våra partiella derivator:CFdr=D(QxPy)dxdy=D(x2)dxdy\int _{ C }^{ }{ F\bullet dr } =\iint _{ D }^{ }{ (\frac { \partial Q }{ \partial x } -\frac { \partial P }{ \partial y } ) } dxdy=\iint _{ D }^{ }{ (-{ x }^{ 2 }) } dxdy


Eftersom vi integrerar på en cirkel måste vi omvandla allt till polära koordinater innan vi integrerar. Vi får då:

  • x2=r2cos2φ-{ x }^{ 2 }=-{ r }^{ 2 }{ cos }^{ 2 }\varphi

  • dxdy=rdrdφdxdy=rdrd\varphi

Vi vet också att vår första integration ska gå från 00 till 11 (eftersom cirkeln har radien 1), och att den andra ska gå från 00 till 2π2\pi (eftersom vi genomlöper cirkeln ett varv i positiv riktning).


Vi ersätter våra värden i Greens formel med alla dessa och får då:


02π01(r2cos2φ)rdrdφ\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ (-{ r }^{ 2 }{ cos }^{ 2 }\varphi ) } rdrd\varphi }


=02π(cos2φ)dφ01(r2)rdr=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ { (cos }^{ 2 }\varphi )d\varphi \int _{ 0 }^{ 1 }{ (-{ r }^{ 2 }) } rdr }


=02π(cos2φ)dφ01(r3)dr=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ { (cos }^{ 2 }\varphi )d\varphi \int _{ 0 }^{ 1 }{ (-{ r }^{ 3 }) } dr }


Vi har nu två integraler som vi måste räkna ut. Vi börjar med den första (som är svårast)!


02π(cos2φ)dφ \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ { (cos }^{ 2 }\varphi )d\varphi }


Som ni kanske kommer ihåg från envariabelanalysen kan man ersätta cos2φ{ \cos }^{ 2 }\varphi med 1+cos(2φ)2\frac { 1+{ \cos }(2\varphi ) }{ 2 } :


=02π(1+cos(2φ)2)dφ =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ (\frac { 1+cos(2\varphi ) }{ 2 } )d\varphi }


=1202π(1+cos(2φ))dφ =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ (1+cos(2\varphi ))d\varphi }


Vi gör substitutionen t=2φt=2\varphi , detta ger att:


t=2φdtdφ=ddφ(2φ)dtdφ=2dt=2dφt=2\varphi \Rightarrow \frac { dt }{ d\varphi } =\frac { d }{ d\varphi } \left( 2\varphi \right) \Rightarrow \frac { dt }{ d\varphi } =2\Rightarrow dt=2d\varphi med de nya integrationsgränserna φ=0t=0,φ=2πt=4π\varphi =0\Rightarrow t=0,\quad \varphi =2\pi \Rightarrow t=4\pi


Vi utför substitutionen i vår integral:


=1204π(1+cos(t))12dt =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 4\pi }{ (1+cos(t))\frac { 1 }{ 2 } dt }


=1404π(1+cos(t))dt =\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 4\pi }{ (1+cos(t))dt }


=14[t+sin(t)]04πdt =\frac { 1 }{ 4 } { \left[ t+sin(t) \right] }_{ 0 }^{ 4\pi }dt


=14((4π+sin(4π))(0+sin(0)))=\frac { 1 }{ 4 } ((4\pi +sin(4\pi ))-(0+sin(0)))


=π= \pi


Phew, det ver en jobbig integral! Men nu kan vi i alla fall gå tillbaka till Greens formel och ersätta den första integralen med $$\pi$$


=02π(cos2φ)dφ01(r3)dr=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ { (cos }^{ 2 }\varphi )d\varphi \int _{ 0 }^{ 1 }{ (-{ r }^{ 3 }) } dr }


=π01(r3)=\pi \int _{ 0 }^{ 1 }{ (-{ r }^{ 3 }) }


...och som tur är så är den andra integralen mycket enklare att beräkna så nu är det bara att fortsätta!


=π[r44]01=\pi { \left[ \frac { { -r }^{ 4 } }{ 4 } \right] }_{ 0 }^{ 1 } =π4=\frac { -\pi }{ 4 }


Nu är vi äntligen klara! Kurvintegralen till F längs cirkeln genomlöpt ett varv i positiv riktning är alltså π4\frac { -\pi }{ 4 }

Konservativa vektorfält

Om F\vec { F } är ett konservativt vektorfält, finns det en ännu enklare formel för att räkna ut kurvintegralen av F\vec { F }längs en kurva C som går från AA till BB:


CFdr=U(B)U(A)\int _{ C }^{ }{ F\bullet dr } =U(B)-U(A)


Tips! När ni ska räkna ut kurvintegralen till ett vektorfält, kolla alltid först om fältet är konservativt! Om det är det kan ni använda den här formeln, vilket vanligtvis sparar mycket tid!


Exempel:

Vi har ett vektorfält F=(2x,cos(y))\vec { F } =(2x,cos(y)). Beräkna en kurvintegral till vektorfältet som går från punkten A(0,0)A(0,0) till B(1,π2)B(1,\frac { \pi }{ 2 } ).


Lösning:

Vi ser att funktionerna g(x,y)=2xg(x,y)=2x och h(x,y)=cos(y)h(x,y)=cos(y) är kontinuerliga. För att kontrollera att F är konservativt ska vi alltså räkna ut derivatan till 2x med avseende på y, och derivatan till cos(y) med avseende på x och se om de är lika.


Vi får att: gy=hx=0\frac { \partial g }{ \partial y } =\frac { \partial h }{ \partial x } =0, alltså är fältet konservativt!


Vi kan nu använda den enkla formeln:


CFdr=U(B)U(A)\int _{ C }^{ }{ F\bullet dr } =U(B)-U(A)


Vi måste bara räkna ut funktionen U(x,y)U(x,y) (potentialen) först!


Vi ställer upp ekvationssystemet:

  • Ux=2x{ U' }_{ x }=2x

  • Uy=cos(y){ U' }_{ y }=cos(y)

Den första ekvationen ger att U=x2+f(y)U={ x }^{ 2 }+f(y).


Vi sätter nu f(y)=cos(y){ f' }(y)=cos(y) (andra ekvationen), och får då f(y)=sin(y)f(y)=sin(y).


Nu har vi hittat potentialen vi sökte! U=x2+sin(y)U={ x }^{ 2 }+sin(y).


Nu återstår det bara att använda formeln och sätta in punkterna AA och BB :


CFdr=U(B)U(A)\int _{ C }^{ }{ F\bullet dr } =U(B)-U(A)


=(2)02+sin(0)=(2)-0^{ 2 }+sin(0)


=2=2


Kurvintegralen är alltså lika med 2!

Comments

Markus Körner

Jag tycker att substitutionen av 2*Fi=t krånglar till det mer än vad som behövs, så för att minska mängden steg i beräkningen lät jag integranden vara (1+cos(2*Fi)).

Marcus Frisell

i lösningen på greens formel står det "...och att den andra ska gå från 0 till 2? " ska ju vara 2pi, kanske är självklart men borde fixas :)

Tristan Edwards

@marcusfrisell: Fixat, tack! Det stod 2π2\pi från början, men det verkar som att pi-tecknet försvann i nån av de senaste uppdateringarna. :)

Moshraff Asef Kamaly

2+2t, 2+2t,2+3t