Lesson 10

Integralteori - sammanfattning

12

Inledning

Denna lektion är ämnad till att sammanfatta alla formler som används i samband med integraler, hur dessa skiljer sig och förhopningsvis ge en större helhet till formlerna.


Allmänt gäller det att vår vekorfunktion F=(P,Q,R)\vec { F } =(P,Q,R) definieras av PP, QQ, och RR som i sin tur är funktioner utav xx, yy och zz så att F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\vec { F } =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)). Detta appliceras genom de flersta integral-formler

Kurvintegraler

Allmänna kurvintegraler


Här är integranden är ett kraftfält och den beräknade integralen arbetet som sker när man vandrar längs vägen


γFdr=tAtBF(t)r(t)dt=γPdx+Qdy+Rdz\int _{ \gamma }^{ }{ \vec { F } } *d\vec { r } \quad =\quad \int _{ { t }_{ A } }^{ { t }_{ B } }{ \vec { F(t) } } *\vec { r'(t) } dt\quad =\quad \int _{ \gamma }^{ }{ Pdx+Qdy+Rdz }


Oftast brukar den mittersta omskrivningen passa när vägen γ\gamma är cirkulär medan den högra omskrivningen passa då γ\gamma är en rak linje.


Greens formel


Formeln appliceras på kurvintegraler i R2R^2 som har sin startpunkt AA och slutpunkt BB på samma ställe så att det omsluter ett kontinuerligt område DD. Detta gör att kurvintegralen kan skrivas om till en dubbelintegral som oftast leder till enklare beräkningar.


γFdr=DPamp;Qxamp;ydxdy\oint _{ \partial \gamma }^{ }{ \vec { F } *d\vec { r } \quad = } \quad \iint _{ D }^{ }{ -\begin{vmatrix} P & Q \\ \frac { \partial }{ \partial x } & \frac { \partial }{ \partial y } \end{vmatrix}dxdy }


Det formeln menar i är att ifall vår väg γ\gamma är randen γ\partial \gamma till ett kontinuerligt och positivt orienterat område DD sker det en ekvivalens mellan väster- och högerled och gör en omskrivning möjlig. Orienteringen av området DD måste vara av positiv riktning (moturs) för att formeln ska gälla!


Öven här är integranden ett kraftfält och integralen arbetet då det fortfarande är en kurvintegral som beräknas.


Stokes sats


Kriterierna för att få använda denna formel är mycket lik Greens formel då ett kontinuerligt och positivit orienterat område måste existera. Det som skiljer Stokes sats från Greens är att denna är definierad i R3R^3 som gör området till en yta medan Greens formel är definierad i R2R^2.


YFdr=D(×F)nndS\oint _{ \partial Y }^{ }{ \vec { F } *d\vec { r } \quad = } \quad \iint _{ D }^{ }{ ( \nabla \times \vec { F } )\frac { \vec { n } }{ \left\| \vec { n } \right\| } dS }


\gamma\gammaven denna formel är integranden ett kraftfält och integralen arbetet då det återigen är en kurvintegral som beräknas.


Notera:×F=rot(F)\nabla \times \vec { F } =rot(\vec { F } ). Detta beskrivs vidare i lektionen Nablaoperatorn.

Ytintegraler

Integraler av denna typ integrerar en funktion f(x,y)f(x,y) som svävar över en definierad yta


YY vilket gör att integralen är volymen utav området imellan.


Yf(x,y)dS\iint _{ Y }^{ }{ f(x,y)*dS }


I dett fallet att integranden f(x,y)=1f(x,y)=1 finns det inte längren en funktion som svävar över en yta och därmed ingen volym att beräkna längre vilket gör att integralen, i detta specialfall, numera beräknar en area istället.


Y1dS\iint _{ Y }^{ }{ 1*dS }


Notera: Då integral-området är en yta (Surfice) kommer areaelementet dSdS att uppkomma. Denna omskrivs olika beroende på den karaktär som funktionen f(x,y)f(x,y)är beskriven på.


Explicit form z=f(x,y)z=f(x,y)


Då funktionen är beskriven på en explicit form får dSdS följande karaktär:


dS=ndxdydS=\left\| \vec { n } \right\| dxdy


med normalvektorn n=(zx,zy,1)\vec { n } =(-\frac { \partial z }{ \partial x } ,-\frac { \partial z }{ \partial y } ,1)


Parameterform r(s,t)\vec { r(s,t) } där ss och tt är funktioner utav xx och yy enligt r(s(x,y),t(x,y))\vec { r } (s(x,y),t(x,y))


Då funktionen är beskriven på en parameterform får areaelementet dSdS följande utseende:


dS=ndsdtdS=\left\| \vec { n } \right\| dsdt


med normalvektor n=rs×rt\vec { n } =\frac { \partial \vec { r } }{ \partial s } \times \frac { \partial \vec { r } }{ \partial t }

Trippelintegraler

När man har trippelintegraler kommer integranden vara en funktion ρ(x,y,z)\rho (x,y,z) som beskriver densisteten hos kroppen KK vilket gör att den beräknade trippelintegralen blir massan av kroppen.


Kρ(x,y,z)dS\iiint _{ K }^{ }{ \rho (x,y,z)*dS }


Men i detta fall existerar det ett specialfall då densitet-funktionen ρ(x,y,z)=1\rho (x,y,z)=1 som gör att den beräknade trippelintegralen blir volymen utav kroppen KK.


K1dS\iiint _{ K }^{ }{ 1*dS }


Flödesintegraler

Allmänna flödesintegraler


Denna typ av integral beräknar ett flödet ϕ\phi av vektorfältet F\vec { F } genom en yta YY.


ϕ=YFnndS\phi \quad =\quad \iint _{ Y }^{ }{ \vec { F } *\frac { \vec { n } }{ \left\| \vec { n } \right\| } dS }


Gauss Divergenssats


Integralen i Gauss Divergenssats använder sig av en definierad randyta K\partial K till en kropp KK för att beräkna flödet ϕ\phi ut genom den kroppen.


ϕ=KFnndS=KFdxdydz\phi \quad =\quad \iint _{ K }^{ }{ \vec { F } \cdot \frac { \vec { n } }{ \left\| \vec { n } \right\| } dS } \quad =\quad \iiint _{ K }^{ }{ \nabla \cdot \vec { F } \quad dxdydz }


Notera: ablaF=div(F) abla \cdot \vec { F } =div(\vec { F } ). Detta beskrivs vidare i lektionen Nablaoperatorn.

Potentialfält

Om ett potentialfält UU existerar kan det beräknas genom beräkning av primitiv funktion för vektorfältet F\vec { F } då de innehålls i sambandet:


F=U=grad(U)\vec { F } = \nabla U=grad(U)


Notera: I det fallet att ett vektorfält F=(P,Q)\vec { F } =(P,Q) i R2R^2 är följande ett kriterium för att ett potentialfält ska kunna existera:


PQxy=0\begin{vmatrix} P & Q \\ \frac { \partial }{ \partial x } & \frac { \partial }{ \partial y } \end{vmatrix}=0


I fallet att vi befinner oss i R3R^3 med vektorfältet F=(P,Q,R)\vec { F } =(P,Q,R) krävs följande kriterium:


×F=0\nabla \times \vec { F } =\vec { 0 }


Ifall respektive kriterium satisfieras är det därmed bevisat att ett potentialfält existerar (dock inte beräknat)

Comments

icon

Be the first to comment!