Lesson 12

Koordinatsystem och Variabelbyte

33

Inledning

Vårt klassiska koordinatsystem, det kartesiska systemet är tyvärr inte optimalt för att uttrycka en del funktioner, i första hand cirkulära funktioner. Att gå över till ett annat kordinatsystem kan ha fördelar i simplifiering utav uttryck, detta kommer till användning främst under integration där det annars kan bli inhumana arbetsförhållanden. Denna lektion syftar till att ge förståelse för variabelbyten i kombination av just integraler.


Man kan gå över till praktiskt taget vilket kordinatsystem som helst och till och med hitta på ett eget som talas vid länge ned. Det vanligaste variabelbytet man kan göra är till något typ av cirkulärt system.

Variabelbyte till cirkulära koordinater

Cirkulära koordinater finns i flera former, det som skiljer de år är den tredje dimensionen (det som vi vanligt kallar zz-led). De cirkulära kordinatsystemen är följande:

  • Polära koordinater

  • Elliptiska koordinater

  • Sfäriska koordinater

  • Cylindriska koordinater

De två första, polära och elliptiska koordinater är båda av dimension 22 och har variablerna (r,θ)(r,\theta) . Det som skiljer det polära koordinatsystemet mot det elliptiska är att variabeln rr varierar i värde i det elliptiska medan det är konstant i det polära koordinatsystemet.


Till vänster har vi det elliptiska koordinatsystemet, till höger det polära.


I denna kurs kommer vi även att använda oss av sfäriska och cylindriska koordinater som båda är av dimention 33 . De har variablerna (r,θ,ϕ)(r,\theta,\phi) och (r,θ,z)(r,\theta,z) respektive.


Med dessa koordinatsystem kan en del funktioner uttryckas mycket enklare!


Vilket system som lämpar sig bäst beror helt på problemet i fråga. Nedan följer de variabelbytet från det kartesiska koordinatsystemet till det polära, cylindriska och sfäriska koordinatsystemet.



Notera: Att φ\varphi endast går från 0φπ0\le\varphi \le\pi och inte 2π2\pi då det räcker för att rita en hel sfär! Det blir då som en halvcirkel som ritas av φ\varphi och roteras runt med θ\theta för att bli en sfär!

Eliptiska koordinater

Man kan även skapa elliptiska koordinater genom att ha ett aa och bb som representerar var ellipsen är centrerad. AA och BB är de värden ellipsen skär genom på respektive axel. Dessa kan analyseras genom formeln för en ellips (som likar cirkelns ekvation):


(xaA)2+(ybB)2=1{ \left( \frac { x-a }{ A } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { y-b }{ B } \right) }^{ 2 }=1


Genom detta kan man då få de eliptiska koordinaterna:


{x=a+ArCos(θ)y=b+BrSin(θ)dxdy=ABrdrdθ\begin{cases} x=a+A*rCos(\theta ) \\ y=b+B*rSin(\theta ) \\ dxdy=ABr*drd\theta \end{cases}


I allmänhet är de väldigt lika polära koordinater.


Då det bästa sättet att lära sig variabelbyten är att faktiskt utföra de kommer räkneexempel att behandlas i slutet av denna lektion.

Variabelbyte till valfria koordinater

Säg att vi har funktionen f(x,y)f(x,y) och vill integrera den över ett område DD där dim(D)=2dim(D)=2 med avseende på xx och yy ger detta oss följande integral:


Df(x,y)dxdy\iint _{ D }^{ }{ f(x,y)\quad dxdy }


Vi vill nu utföra ett variabelbyte till (s,t)(s,t), då måste vi även ändra dxdydxdy så att vi integrerar över de nya variablerna istället. Detta görs med Jacobi determinanten J \left| J \right| som är en extra faktor till de nya variablerna


dxdy=Jdsdt,J=x(s,t)y(s,t)=xsxtysytdxdy=\left| J \right| *dsdt\quad ,\quad \left| J \right| =\left| \begin{matrix} \nabla x(s,t) \\ \\ \nabla y(s,t) \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} \begin{matrix} \frac { \partial x }{ \partial s } & \frac { \partial x }{ \partial t } \end{matrix} \\ \\ \begin{matrix} \frac { \partial y }{ \partial s } & \frac { \partial y }{ \partial t } \end{matrix} \end{matrix} \right|


Notera att i Jacobi determinanten betraktas xx och yy nu som funktioner av ss och tt! Det är av denna anledning vi har extra faktorer i när vi gör ett variabelbyte till de cirkulära systemen (där J=r\left| J \right| = r för sfäriska). Att beräkna Jacobin är inte svårt om man kan explicit förenkla vad xx och yy substitut blir. Detta gör vi i exemplen nedan.


Viktigt: Jacobideterminanten måste uppfylla följande villkor då annars variabelbytet inte är giltigt:

J0\left| J \right| \ne 0


Integralen i sig har därför följande utseende efter variabelbyte


Df(x,y)dxdy=Df(s,t)Jdsdt\iint _{ D }^{ }{ f(x,y)dxdy } =\iint _{ D' }^{ }{ f(s,t)*\left| J \right| *dsdt }


Notera: Området DD vi integrerar på påverkas utav variabelbyte då det är definierat av de tidigare koordinaterna. Detta innebär att vi måste omskriva vårt område till de nya koordinaterna. Vårt nya område uttryckt i (s,t)(s,t)-koordinater blir då DD' och kan mycket väl ha en anna geometrisk form än DD då den är anpassad ett helt annat system.

Räkneexempel

Exercise

Beräkna Jacobi determinanten för variabelbytet


{x=rCos(θ)y=rSin(θ)\begin{cases} x=rCos(\theta ) \\ y=rSin(\theta ) \end{cases}


Solution

Vi använder oss utav definitionen för Jacobin och beräknar de partiella derivatorna. Sedan beräknar vi determinanten och bryter ut $$r$$ samt utnyttjar trig. ettan:


J=xrxθyryθ=Cos(θ)Sin(θ)rSin(θ)rCos(θ)=rCos2(θ)+rSin2(θ)=r(Cos2(θ)+Sin2(θ))=r\left| J \right| =\left| \begin{matrix} \begin{matrix} \frac { \partial x }{ \partial r } & \frac { \partial x }{ \partial \theta } \end{matrix} \\ \\ \begin{matrix} \frac { \partial y }{ \partial r } & \frac { \partial y }{ \partial \theta } \end{matrix} \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} Cos(\theta ) \\ \\ Sin(\theta ) \end{matrix}\begin{matrix} -rSin(\theta ) \\ \\ rCos(\theta ) \end{matrix} \right| =r{ Cos }^{ 2 }(\theta )+r{ Sin }^{ 2 }(\theta )=r({ Cos }^{ 2 }(\theta )+{ Sin }^{ 2 }(\theta ))=r


Detta ger oss att J=r\left| J \right| = r vilket stämer då det var polära koordinater bytte till.


Exercise

Beräkna Dx2dxdy\iint _{ D }^{ }{ { x }^{ 2 }dxdy }D={(x,y)1<x2+4y2<4}D=\{ (x,y)|1< { x }^{ 2 }+{ 4y }^{ 2 }< 4\}

Solution

Genom att analysera DD kan man se att det är en ellips. Vi utför en omskrivning av DD så att D={(x,y);14<x222+y2<1}D=\{ (x,y);\frac { 1 }{ 4 } < \frac { { x }^{ 2 } }{ { 2 }^{ 2 } } +{ y }^{ 2 }< 1\} och inför därför koordinaterna:


{x=rCos(θ)y=12rSin(θ)\begin{cases} x=\quad rCos(\theta ) \\ y=\frac { 1 }{ 2 } rSin(\theta ) \end{cases}


Detta koordinatbyte ger Jacobianen


J=xrxθyryθ=Cos(θ)12Sin(θ)rSin(θ)12rCos(θ)=12r\left| J \right| =\left| \begin{matrix} \begin{matrix} \frac { \partial x }{ \partial r } & \frac { \partial x }{ \partial \theta } \end{matrix} \\ \\ \begin{matrix} \frac { \partial y }{ \partial r } & \frac { \partial y }{ \partial \theta } \end{matrix} \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} Cos(\theta ) \\ \\ \frac { 1 }{ 2 } Sin(\theta ) \end{matrix}\begin{matrix} -rSin(\theta ) \\ \\ \frac { 1 }{ 2 } rCos(\theta ) \end{matrix} \right| =\frac { 1 }{ 2 } r


efter detta variabelbyte får vi nu att x2+4y2=r2{ x }^{ 2 }+{ 4y }^{ 2 }=r^{ 2 } som ger oss gränserna för de nya variablerna 1<r<21< r< 2 samt 0θ<2π0 \le \partial \theta < 2\pi. Vi beräknar nu integralen och får


Dx2dxdy=D(rCosθ)212rdrdθ=1212r3(02πcos2θdθ)=π212r3dr=15π8\iint _{ D }^{ }{ { x }^{ 2 }dxdy= } \iint _{ D' }^{ }{ (rCos\theta )^{ 2 }*\frac { 1 }{ 2 } rdrd\theta = } \frac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 2 }{ { r }^{ 3 } } \left( \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ { cos }^{ 2 }\theta } d\theta \right) =\frac { \pi }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 2 }{ { r }^{ 3 }dr=\frac { 15\pi }{ 8 } }


Comments

profile/avatar/default
Ottosson Frida

Har du något tips på hur jag kan känna igen när jag ska använda cylindriska och när jag ska använda sfäriska koordinater? Samt med integrationsgränser :)

Teo Bueno

När det står '*', ska jag anta att det är multiplikation eller skalärprodukt? Tack :)

Christian Abdelmassih

@teobueno Vanlig multiplikation! Skalärprodukt funkar bara om du har två vektorer :)