Lesson 6

Dubbelintegraler

22

Vad används dubbelintegraler till?

Ni kan säkert redan några formler för att räkna ut volymen på vissa tredimensionella kroppar (exempelvis kuber, tetraeder och sfärer). Men hur gör man för att hitta volymen till en kropp som ser ut såhär till exempel?


Här verkar det inte som att någon av våra formler hjälper!


Det lättaste sättet att göra det på är att räkna ut dubbelintegralen!


Om f(x,y)f(x,y) är en icke-negativ funktion, så har vi:


K=f(x,y)dxdyK = \iint { f(x,y)dxdy }


där K är volymen som begränsas av ytan z=f(x,y)z=f(x,y) och definitionsmängden till f.


Tips: Om ni har svårt att föreställa er hur den här volymen ser ut så titta på bilden ovan; den övre ytan av kroppen är z, och den projiceras ner mot funktionens definitionsmängd (xy-planet). Allt däremellan är volymen K!

Exercise

Beräkna volymen på kroppen KK som definieras av: K={(x,y,z):0<x<1,0<y<2,2x+3y+1<z<2x+3y+5}K = \{(x,y,z):\quad 0 < x < 1,\quad 0 < y < 2,\quad 2x+3y+1 < z < 2x + 3y + 5 \}

Solution

Vi har tre variabler och ska alltså därför beräkna en trippelintegral. Vi integrerar först med avseende på z (eftersom z beror på x och y), sedan spelar det ingen roll om vi först integrerar med avseende på x eller y eftersom båda ändå bara beror på konstanter. Vi väljer att ställa upp trippelintegralen så att vi först integrerar med avseende på z, sedan y och slutligen x:


10dx20dy2x+3y+12x+3y+51dz\int _{ 1 }^{ 0 }{ dx } \int _{ 2 }^{ 0 }{ dy } \int _{ 2x+3y+1 }^{ 2x+3y + 5 }{ 1dz }


Vi löser nu integralen genom att först integrera ettan med avseende på z:


=10dx20dy[z]2x+3y+12x+3y+5=\int _{ 1 }^{ 0 }{ dx } \int _{ 2 }^{ 0 }{ dy } { \left[ z \right] }_{ 2x+3y+1 }^{ 2x+3y+5 }


=10dx20(2x+3y+5(2x+3y+1))dy=\int _{ 1 }^{ 0 }{ dx } \int _{ 2 }^{ 0 }{ (2x+3y+5-(2x+3y+1))dy }


=10dx20(4)dy=\int _{ 1 }^{ 0 }{ dx } \int _{ 2 }^{ 0 }{ (4)dy }


Vi integrerar nu 4 med avseende på y:


=10dx[4y]20=\int _{ 1 }^{ 0 }{ dx } { \left[ 4y \right] }_{ 2 }^{ 0 }


=108dx=\int _{ 1 }^{ 0 }{ -8dx }


Slutligen integrerar vi -8 med avseende på x:


=[8x]10={ \left[ -8x \right] }_{ 1 }^{ 0 }


=8=8


K är alltså 8 volymenheter stor!

Comments

Marcus Frisell

För dx och dy är det största och minsta värdet bytta med varandra. b-värdet är alltså underst och a-värdet överst. För dz, står det rätt dock.

Marcus Frisell

I översta trippelintregralen står det att b = 2x + 3y, ni har glömt +5