Taylor- och Maclaurinutvecklingar

Taylorutveckling

Taylorutvecklingar handlar om att approximera funktioner med polynom som är lätta att hantera.

Metoden går ut på att hitta ungefär hur en funktion ser ut vid en viss punkt genom att summera ett stort antal derivator till funktionen vid den punkten. Ju mer man deriverar, desto mer exakt blir approximationen!

För att approximera $f(x)$ i punkten $a$ räknar man ut:

$f(x)=f(a)+\frac { f'(a) }{ 1! } { (x-a) }+\frac { f''(a) }{ 2! } { (x-a) }^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(a) }{ n! } { (x-a) }^{ n }+restterm$

Maclaurinutveckling

En Maclaurinutveckling är precis som en Taylorutveckling förutom att man alltid approximerar i punkten $0$.

För att approximera $f(x)$ i punkten $x=0$ använder man formeln:

$f(x)=f(0)+\frac { f'(0) }{ 1! } x+\frac { f''(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } { x }^{ n }+restterm$

(vi har helt enkelt ersatt alla $a$:n från förra formeln med $0$)

Uppgift

Beräkna Maclaurinpolynomet av ordning $3$ till $f(x)={ e }^{ x }$ för att hitta närmevärdet till $\frac { 1 }{ \sqrt { e } }$

Lösning

Eftersom vi ska beräkna polynomet av ordning 3 räknar vi först ut de tre första derivatorna till $f(x)$!

I det här fallet är det väldigt enkelt, vi får: $f(x)=f'(x)=f''(x)=f'''(x)={e}^{x}$

Vi räknar nu ut Maclaurinpolynomet (Taylorpolynomet i nollpunkten):

$f(x)={ e }^{ 0 }+\frac { { e }^{ 0 } }{ 1! } x+\frac { { e }^{ 0 } }{ 2! } { x }^{ 2 }+\frac { { e }^{ 0 } }{ 3! } { x }^{ 3 }$

$=1+x+\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 6 } { x }^{ 3 }$

Hur länkar man då det här till $\frac { 1 }{ \sqrt { e } }$?

Jo, om man är lite listig så kan man se att $\frac { 1 }{ \sqrt { e } } ={ e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }$ (eftersom ${ e }^{ -1 }=\frac { 1 }{ e }$ och ${ e }^{ \frac { 1 }{ 2 } }=\sqrt { e }$ )

Maclaurinutvecklingen till ${ e }^{ x }$ kan nu lätt göras om till Maclaurinutvecklingen till ${ e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }$ genom att ersätta alla $x$ med $-\frac { 1 }{ 2 }$!

Vi får då:

$1+(-\frac { 1 }{ 2 } )+\frac { 1 }{ 2 } \cdot { (-\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 6 } \cdot { (-\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 3 }$

$=1-\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 8 } -\frac { 1 }{ 48 }$

$=\frac { 48 }{ 48 } -\frac { 24 }{ 48 } +\frac { 6 }{ 48 } -\frac { 1 }{ 48 }$

$=\frac { 29 }{ 48 }$ som är vårt närmevärde!

Standardutvecklingar

Egentligen kan man räkna ut alla funktioners Taylorserier med hjälp av den första formeln vi gick igenom. Det kan dock ändå vara bra att ha koll på några standardutvecklingar, om inget annat för att vara säker på att man inte har räknat fel!

• $\frac { 1 }{ 1-x } =1+x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+...+{ x }^{ n }+restterm$

• ${ e }^{ x }=1+x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +...+\frac { { x }^{ n } }{ n! } +restterm$

• $\sin { x } =x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { x }^{ 5 } }{ 5! } -...+{ (-1) }^{ n-1 }\frac { { x }^{ 2n-1 } }{ (2n-1)! } +restterm$

• $\cos { x } =1-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } -...+{ (-1) }^{ n }\frac { { x }^{ 2n } }{ (2n)! } +restterm$

• $\ln { (1+x) } =x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -...+{ (-1) }^{ n-1 }\frac { { x }^{ n } }{ n } +restterm$

Lagranges restterm

Lagranges restterm indikerar ungefär hur noggrannt ett Taylor- eller Maclaurinpolynom har approximerats. Ju mindre resttermen är, desto mindre är felet!

I Taylorpolynomen ovan betecknade vi denna som $restterm$, men oftast betecknas den med ${ R }_{ n }(x)$.

Ett Taylorpolynom av ordning n har resttermen:

...där $c$ är en konstant mellan $a$ och $x$.

Om du tycker att formeln ser krånglig ut så oroa dig inte, i exemplet nedan blir det tydligare hur det används!

Uppgift

Beräkna ett närmevärde till $\cos(0,1)$ med hjälp av ett Maclaurinpolynom, med ett fel som är mindre än $0,001$.

Lösning

Vi börjar med att räkna ut några derivator till funktionen $f(x)=\cos { (x) }$:

• $f(x)=\cos { (x) }$

• $f'(x)=-\sin { (x) }$

• $f''(x)=-\cos { (x) }$

• $f'''(x)=\sin { (x) }$

• $f^{ (4) }\left( x \right) =\cos { (x) }$

Sådär! Nu har vi de 5 första derivatorna, vilket borde vara tillräckligt för att approximera Taylorpolynomet så mycket som vi vill!

Vi använder nu formeln för Lagranges restterm för att se hur långt vi måste gå för att felet ska bli mindre än $0,001$:

${ R }_{ n }(x)=\frac { f^{ n+1 }\left( c \right) }{ (n+1)! } { (x-a) }^{ n+1 }$

Vi har fått att $x=0,1$, och vi vet att $a=0$ (eftersom det handlar om ett Maclaurinpolynom approximerar vi vid $0$).

Vi kan börja med att beräkna Maclaurinpolynomet av ordning 1. Vi får då:

${ T }_{ 1 }(x)=f(0)+\frac { f'(0) }{ 1! }x$

Och resttermen blir:

$R_{ 1 }(x)=\frac { f''(c) }{ 2! } { (x-a) }^{ 2 }=\frac { -\cos { (c) } }{ 2! } \cdot { (0,1) }^{ 2 }$

Nu återstår problemet att vi inte vet vad c är. Det man brukar göra då är att man tar "det värsta tänkbara fallet": alltså när felet är som störst!

Vi vet att cosinusfunktionen alltid håller sig mellan $-1$ och $1$. Eftersom vi är intresserade av felets storleksordning och struntar i tecknet kan vi använda absolutbeloppet till $R$ och får då:

$\left| R_{ 1 }(0,1) \right| \le \frac { 1 }{ 2! } { (0,1) }^{ 2 }$ (eftersom absolutbeloppet till cosinusfunktionen högst är $1$)

För Maclaurinpolynomet av ordning 1 är felet alltså mindre än:

$\frac { 1 }{ 2! } { (0,1) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \cdot 0,01=0,005$.

Detta är tyvärr inte tillräckligt eftersom vi ville att felet skulle vara mindre än $0,001$ ju! Så vi fortsätter helt enkelt approximationen och räknar ut Maclaurinpolynomet av ordning 2 nu istället!

Vid ordning 2 får vi:

${ T }_{ 2 }(x)=f(0)+\frac { f'(0) }{ 1! } x+\frac { f''(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }$

Och resttermen räknas ut med samma formel som förut, vilket ger:

$R_{ 2 }(x)=\frac { f'''(c) }{ 3! } { (x-a) }^{ 3 }=\frac { \sin { (c) } }{ 3! } \cdot { (0.1) }^{ 3 }$

Genom absolutbeloppet och det faktum att även sinusfunktionen håller sig mellan -1 och 1 får vi att:

$\left| R_{ 2 }(0,1) \right| \le \frac { 1 }{ 3! } { (0,1) }^{ 3 }$

...vilket ger att felet är mindre än $\frac { 1 }{ 3! } { (0,1) }^{ 3 }=\frac { 1 }{ 6 } \cdot 0,001$

Här ser vi direkt att felet är mindre än $0,001$, vilket gör vår approximation ${ T }_{ 2 }(x)$ tillräcklig!

En tillräckligt noggrann approximation av $\cos { (0,1) }$ är alltså:

${ T }_{ 2 }(x)=f(0)+\frac { f'(0) }{ 1! } (x-a)+\frac { f''(0) }{ 2! } { (x-a) }^{ 2 }$

$=\cos { (0) } -\sin { (0) } x-\frac { \cos { (0) } { x }^{ 2 } }{ 2 }$

$=1-\frac { { (0,1) }^{ 2 } }{ 2 }$

$=1-0,005$

$=0,995$