Lesson 6

Partialintegration & variabelsubstitution

26

Hittills har vi beräknat integraler vars termer har en enkel primitiv funktion. Men hur gör man för att integrera sammansatta, eller andra konstiga, funktioner?


Det finns 2 vanliga tekniker för att lösa svåra integraler!

Partialintegration

Partialintegration är en lösningsmetod som bygger på att man ser integranden som en produkt av två funktioner! Tekniken går ut på att integrera endast den ena faktorn, och sedan derivera den andra!


Vilken faktor man integrerar och vilken man deriverar är valfritt, men oftast väljer man att derivera den svårare faktorn!


Formeln för partialintegration:


f(x)g(x)dx=[F(x)g(x)]F(x)g(x)dx\int { f(x)g(x)dx=[F(x)g(x)]-\int { F(x)g'(x)dx } }



Uppgift 1

Beräkna integralen xexdx\int { x{ e }^{ x } } dx

Lösning

Termen xexx{ e }^{ x } finns inte med i vår integraltabell, vi väljer därför att se det som produkten av två funktioner istället!


Vi har isåfall:

  • f(x)=exf(x)={ e }^{ x }

  • g(x)=xg(x)=x

Enligt partialintegrationens formeln ska vi nu hitta primitiven till f(x)f(x) och derivera g(x)g(x)!


Vi får då:

  • F(x)=exF(x)={ e }^{ x }

  • g(x)=1g'(x)=1

Nu återstår bara att applicera formeln!


f(x)g(x)dx=[F(x)g(x)]F(x)g(x)dx\int { f(x)g(x)dx=[F(x)g(x)]-\int { F(x)g'(x)dx } }


=[xex]exdx=[x{ e }^{ x }]-\int { { e }^{ x } } dx


=xexex=x{ e }^{ x }-{ e }^{ x }


Integralen till xexx{ e }^{ x } är alltså xexexx{ e }^{ x }-{ e }^{ x }!

Variabelsubstitution

När man utför en variabelsubstitution använder man sig av den där dxdx-delen som finns i slutet av varje integral!


Principen går ut på att:

  1. Hitta den svåra delen i integralen (den som vi vill ersätta)

  2. Definiera en ny variabel (vi kan kalla den tt ) och sätt t=t= integralens svåra del

  3. Hitta dxdx i samband med dtdt (detta kan göras genom att hitta t:s derivata)

  4. Ersätt alla svåra termer i integralen med tt och ersätt dxdx med dess dtdt-samband!

  5. Lös integralen som vanligt!

Den enklaste sättet att förstå detta är som vanligt med ett exempel.

Uppgift 2

Vi börjar med ett exempel utan intervall. Beräkna integralen (e5x+2)dx\int { ({ e }^{ 5x+2 })dx }

Lösning

Vi ser att den svåra delen är 5x+25x+2, vi vill kunna ersätta det med en enda variabel tt!


Vi sätter alltså: t=5x+2t=5x+2


Vi ska nu hitta dxdx i samband med dtdt.

Vi börjar med att derivera tt:

t=5t'=5, vilket också kan skrivas dt=5dxdt=5dx


Utifrån detta får vi:

dx=15dtdx=\frac { 1 }{ 5 } dt


Nu ska vi ersätta alla 5x+25x+2 i vår integral med tt, och alla dxdx med 15dt\frac { 1 }{ 5 } dt! Vi får:

et15dt\int { { e }^{ t }\cdot \frac { 1 }{ 5 } } dt


15\frac { 1 }{ 5 } kan flyttas framför själva integralen eftersom det är en konstant:


=15etdt=\frac { 1 }{ 5 } \int { { e }^{ t } } dt


Vi löser integralen:


=15et=\frac { 1 }{ 5 } { e }^{ t }


Slutligen sätter vi tillbaka 5x+25x+2tt:s plats så att integralen fortfarande är med avseende på xx:


=15e5x+2=\frac { 1 }{ 5 } { e }^{ 5x+2 }

Om man har en integral med ett intervall fungerar det på precis samma sätt förutom att man i slutet inte sätter tillbaka xx utan istället räknar ut de nya intervallen med avseende på tt!

Uppgift 3

Beräkna integralen 12(x3+1)23x2dx\int _{ -1 }^{ 2 }{ { ({ x }^{ 3 }+1) }^{ 2 } } { 3x }^{ 2 }dx

Lösning

Vi ersätter först den svåra delen med tt. Här gäller det att vara lite klurig och se att 3x23{ x }^{ 2 } är derivatan till x3+1{ x }^{ 3 }+1.


Vi sätter därför t=x3+1t={ x }^{ 3 }+1


Vi ska nu hitta dxdx i samband med dtdt:


t=3x2t'=3{ x }^{ 2 }

dt=3x2dx\Leftrightarrow dt=3{ x }^{ 2 }dx


Nu ser vi alltså att vi enkelt kan ersätta integralen med detta (vi kallar de nya okända intervallen t1{ t }_{ 1 } och t2{ t }_{ 2 }):


t1t2t2dt\int _{ { t }_{ 1 } }^{ { t }_{ 2 } }{ { t }^{ 2 }dt }


Slutligen måste vi också hitta de här nya intervallen t1{ t }_{ 1 } och t2{ t }_{ 2 }! Detta gör vi genom att använda t=x3+1t={ x }^{ 3 }+1 och ersätta xx med integralens tidigare intervall (22 och 1-1).


Vi får då:

  • t1=(13+1)=0{ t }_{ 1 }=({ -1 }^{ 3 }+1)=0

  • t2=(23+1)=9{ t }_{ 2 }=({ 2 }^{ 3 }+1)=9

Nu har vi alltså vår integral klar! Så återstår bara att räkna!


09t2dt\int _{ 0 }^{ _{ 9 } }{ { t }^{ 2 }dt }


=[t33]09={ \left[ \frac { { t }^{ 3 } }{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ 9 }


=933033=\frac { { 9 }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { 0 }^{ 3 } }{ 3 }


=7293=\frac { 729 }{ 3 }


=243=243

Comments

profile/avatar/default
Benne H

Hej! Kan du lägga in vad dx=?dt är i början, är inte riktigt med hur du får t^2dt. Försvinner 3an pga att det är konstant? Samt hur du i sista beräkning får fram [t^3/3]? Annars tack för en otroligt bra kurs!

profile/avatar/default
Benne H

Tar du primitiven på t^2 i den sista beräkningen?

Tristan Edwards

@benne-h: Tricket är att se att 3x23{x}^2 är derivatan till x3+1{x}^3+1. Om du därför sätter t=x3+1t = {x}^3+1, får du derivatan t=dt=3x2t= dt = 3{x}^2.

Tristan Edwards

Genom detta har du nu ersatt alla xx i originalformeln. Du får därför t2dt{t}^2dt om du helt enkel ersätter x3+1{x}^3+1 med tt och 3x23{x}^2 med dtdt i originalformeln (x3+1)23x2dx{({x}^3 +1)}^2 3{x}^2dx. Sen är det, precis som du sa, en vanlig primitivberäkning. :)

Viktor Wallin

Hej, undrar varför den här formeln skiljer sig från formeln på mitt formelblad? Jag missar tydligen något :)


Formelbladet:


∫ f(x)g'(x)dx =[f(x)g(x)] - ∫ f '(x)g(x)dx


Du har med primitiv funktion i den formeln, det har inte formelbladet.

Viktor Wallin

Jahaa, att det var så simpelt! :)


Tack så mycket Tristan.

Tristan Edwards

@viktorwallin: Det är i grund och botten exakt samma formel!


För att visa det kan vi utgå ifrån formeln på Ludu, men istället ersätta f(x)f(x) med f(x)f'(x) i början. Isåfall får vi f(x)g(x)=f(x)gx()f(x)g(x)\int { f'(x)g(x) } =f(x)gx()-\int { f(x)g'(x) } . Det är samma formel som i ditt formelblad, förutom att ff kallas för gg, och vice versa. :)

Markus Leijström

*+ C, där C är en godtycklig konstant?

Tristan Edwards

@markus-leijstrom: Yes, det kan vara värt att lägga till varje gång man har integrerat något!