Lesson 1

Definitionsmängd & värdemängd

28

Alla funktioner har en viss definitionsmängd och en värdemängd. Ett sätt att förklara det på är att tänka oss en funktion f(x)=yf(x)=y.

  • Ersätt f(x)f(x) med yy. Funktionen ska alltså nu vara skriven som: y=y= termer som innehåller xx

  • Trixa lite med ekvationen till du har isolerat xx och får fram: x=x= termer som innehåller yy


Definitionsmängden och värdemängden av en funktionskurva.


Definitionsmängd

Definitionsmängden till en funktion f(x)f(x) betecknas DfD_{ { f } }. Vilka xx-värden som är tillåtna varierar från funktion till funktion.

Ett enkelt exempel är funktionen f(x)=1xf(x)=\frac { 1 }{ x } . Här får xx absolut inte vara 00 (eftersom det inte går att dela något med noll)!

Definitionsmängden till f(x)f(x) är alltså i det här fallet: ];0[]0;+[]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [.

Värdemängd

Värdemängden till en funktion f(x)f(x) betecknas VfV_{ { f } }. Man kan få fram den på olika sätt efter att ha hittat definitionsmängden, t.ex. genom att räkna ut funktionens gränsvärden, rita upp en teckentabell, eller bara genom att tänka till lite.

Ett enkelt exempel är funktionen f(x)=x2f(x)={ x }^{ 2 }. Denna har alla reella tal (];+[]-\infty ;+\infty [) som definitionsmängd, men kan aldrig anta ett negativt värde, oavsett vad xx är.

Värdemängden till funktionen är alltså i det här fallet [0;+[[0;+\infty [ (d.v.s. alla positiva reella tal).

Invers funktion

En invers funktion betecknas f1{ f }^{ -1 } och innebär att variabelns och funktionens värde byter plats med varandra. Detta medför också att:

  • Definitionsmängden till ff blir värdemängden till f1{ f }^{ -1 }

  • Värdemängden till ff blir definitionsmängden till f1{ f }^{ -1 }

Kort sagt byter alltså definitionsmängden och värdemängden plats när man tar fram inversen till en funktion.

Hur får man då fram en invers funktion? Låt säga att vi har en funktion f(x)f(x). Vi följer nu dessa steg för att få fram dess invers:

  1. Ersätt f(x)f(x) med yy. Funktionen ska alltså nu vara skriven som: y=y= termer som innehåller xx

  2. Trixa lite med ekvationen till du har isolerat xx och får fram: x=x= termer som innehåller yy

  3. Ersätt xx medf1(x){ f }^{ -1 }(x) och yy med xx! Grattis, du har nu fått fram funktionens invers!

För att kontrollera att du har förstått allting i det här kapitlet kan du göra nedanstående uppgift. Försök först att lösa den själv och kolla sedan på lösningen!

Uppgift

Vi har funktionen f(x)=ex1xf(x)={ e }^{ \frac { x-1 }{ x } }

  1. Beräkna funktionens invers f1{ f }^{ -1 }

  2. Hitta inversens värdemängd Vf1{ V }_{ { f }^{ -1 } }

  3. Hitta inversens definitionsmängd Df1D_{ { f }^{ -1 } }

Lösning

Vi börjar med att hitta funktionens invers! Vi kommer att gå igenom varje steg i detalj, så var inte orolig om det ser långt ut.

Vi ersätter först "f(x)f(x)" med yy:

y=ex1xy={ e }^{ \frac { x-1 }{ x } }

Nu ska vi isolera xx:

ln(y)=x1x\ln { (y) } =\frac { x-1 }{ x }

ln(y)=xx1x\ln { (y) } =\frac { x }{ x } -\frac { 1 }{ x }

ln(y)=11x\ln { (y) } =1-\frac { 1 }{ x }

ln(y)1=1x\ln { (y) } -1=-\frac { 1 }{ x }

1x=1ln(y)\frac { 1 }{ x } =1-\ln { (y) }

x=11ln(y)x=\frac { 1 }{ 1-\ln { (y) } }

Slutligen ersätter vi xx med f1(x){ f }^{ -1 }(x) och yy med xx:

f1(x)=11ln(x){ f }^{ -1 }(x)=\frac { 1 }{ 1-\ln { (x) } }

Nu har vi vår inversfunktion! Nästa steg är att hitta värdemängden till inversen!

Som vi såg förut är inversfunktionens värdemängd densamma som funktionens definitionsmängd.

Vi kan enkelt se att definitionsmängden till f(x)f(x) är ];0[]0;+[]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [, alltså har vi även:

Vf1=];0[]0;+[{ V }_{ { f }^{ -1 } }=]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [

Slutligen ska vi hitta inversens definitionsmängd, d.v.s. originalfunktionens värdemängd.

För att hitta definitionsmängden till inversen ​​11ln(x)\frac { 1 }{ 1-\ln { (x) } } kan vi se när funktionen blir ogiltig genom använda en slags "uteslutningsmetod" och se när dess olika termer är odefinierade.

  1. Vi vet först och främst att ln(x)\ln(x) endast är definierad när x>0x>0, alltså är mängden [;0][-\infty; 0] redan utesluten.

  2. Vi vet också att nämnaren i ett bråk aldrig får anta 00. I det här fallet är nämnaren 1ln(x)1-\ln(x), och antar alltså 00 när ln(x)=1x=e\ln(x) = 1 \Longleftrightarrow x = e. Alltså är även ee utesluten ur definitionsmängden.

Utifrån dessa två definitionsmängder vet vi nu att inversens definitionsmängd är ]0;e[]e;+[]0;e[\cup]e;+\infty[.

Comments

Viktor Wallin

Ursäkta, hur räknade du i det sista stegen med x tillhörande [0;+oändlighet[

Viktor Wallin

Alltså när du gör x till e^((x-1)/x) och då får inversens definitionsmängd

Viktor Wallin

Det är första gången jag sett en sån uträkning.


Om det är mycket att förklara; kan du snälla länka någonstans där jag kan lära mig det? :)